Дослідження форми гіперболи. Асимптоти гіперболи

Розглянемо канонічне рівняння гіперболи

. (4)

Аналіз цього рівняння дає можливість назвати ряд властивостей гіперболи.

1) Гіпербола не прохо­дить через початок коорди­нат.

2) Гіпербола симет­рич­на від­­нос­но координат­них осей і початку коор­динат.

3) Гіпербола перетинає вісь ОХ в точках А ₁ (а,0 ), А ₂ (-а,0) і не перетинає вісь ОY. Точки А ₁, А ₂ нази­вають­ся вершинами гіпер­боли, а відрізок А ₁ А ₂ = 2 а – дійсною віссю гіперболи (рис. 4.12). Відкладемо на осі ОY точки і .

Відрізок називається уявною віссю гіперболи; числа а і b називаються дійсною піввіссю та уявною піввіссю відповідно.

4) Із рівняння (4) випливає, що , тобто , або Це означає, що гіпербола складається з двох симетричних віток, які розміщені за межами смуги, обмеженої прямими .

Побудуємо діагоналі прямокутника з сторонами 2 а, 2 b. Рівняння прямих, на яких лежать ці діагоналі, мають вигляд: .

З рівняння (1) випливає, що або , . Якщо М(х,у) – деяка точка гіперболи, то , де – кут, який утворює пряма ОМ з віссю ОХ. Тому . Отже, будь-яка точка М(х,у) гіперболи лежить в одному з кутів, утворених прямими (в правому або лівому).

Оскільки , то половина фокусної відстані є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами а і b.

Дослідимо поведінку віток гіперболи по відношенню до канонічного прямокутника із сторонами 2 а і 2 b.

Нехай М(х,у) – довільна точка гіперболи, тоді , . Проведемо через точку М пряму, паралельну до осі ОY (рис. 4.12). Точка N перетину цієї прямої з прямою має координати . Тоді

.

Пряма, яка має цю властивість, називається асимптотою кривої.

Отже, пряма є асимптотою гіперболи. Завдяки симетрії асимптотою є і пряма .

Для побудови асимптот гіперболи треба побудувати прямокутник з сторонами 2 а і 2 b з центром у початку координат. Діагоналі його лежать на асимптотах гіперболи.

Розглянемо рівняння двох гіпербол:

, (4)

. (5)

Гіпербола (5) називається спряженою з гіперболою (4). Оскільки рівняння (5) одержане із (4) заміною х на у, а на b, то дійсна вісь першої гіпер­боли стає уявною для дру­гої, і навпаки.

Асимптоти обох гіпер­бол – прямі , тому ці гіперболи розміщені в се­ре­­дині кутів, утворених асимптотами (рис. 4.13).

Якщо a=b, то рівняння (4) матиме вигляд: . Така гіпербола називається рівносторонньою, її канонічний прямокутник вироджується в квадрат.

Приклад. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, і відстань між ними 2 с= 20, а рівняння асимптот .

Розв’язання. Рівняння асимптот гіперболи має вигляд , тому за даними рівняннями асимптот можемо зробити висновок, що , де k >0. Для гіперболи . Складаємо рівняння: , звідки . , тому . Рівняння гіперболи має вигляд:

.