Канонічне рівняння гіперболи

Означення 2.1. Гіперболою називається геометричне місце точок площини, різниця відстаней від яких до двох фіксованих точок цієї площини, що називаються фокусами, є величина стала.

Нехай М – довільна точка гіперболи, а і – її фокуси (рис. 4.11). Відстань між фокусами називається фокусною відстанню. За означенням гіперболи . Позначимо цю різницю відстаней через . За нерівністю трикутника , тобто , або

. (1)

Виберемо прямокутну систему координат таким чином, щоб її початок збігався з серединою відрізка , а вісь ОX – з прямою .

Виведемо рівняння гіперболи в цій системі координат. Нехай – до­віль­на точка гіперболи. Тоді .

За означенням гіперболи

,

звідки

;

.

Піднісши обидві частини цієї рівності до квадрата, дістанемо

;

.

Знову піднесемо обидві частини до квадрата, маємо

;

(2)

Із формули (1) випливає, що . Позначимо , звідки

. (3)

Підставивши (3) в (2), отримаємо:

;

. (4)

Отже, координати будь-якої точки гіперболи задовольняють рівняння (4).

Припустимо тепер, що координати точки задовольняють рівняння (4), тобто має місце рівність

. (5)

Покажемо, що точка належить гіперболі.

Із (5) отримаємо

. (6)

Обчислимо відстані від точки до фокусів гіперболи:

.

Враховуючи (6), матимемо:

.

Аналогічно

.

Із рівності (5) випливає, що , тобто , звідки або .

Розглянемо кожен із цих випадків окремо:

1) , тоді ; , тому в цьому випадку . Тоді

.

2) , тоді .

Тому . Отже,

.

Таким чином, в обох випадках точка задовольняє рівність , а тому ця точка належить даній гіперболі.

Отже, рівняння (4) є рівнянням гіперболи. Воно називається канонічним рівнянням гіперболи.

Приклад 1. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо ця гіпербола проходить через точки і .

Розв’язання. Канонічне рівняння цієї гіперболи має вигляд . Підставивши в це рівняння координати точок М₁ і М₂, дістанемо

Зробимо заміну: , матимемо:

або

Отже, і шукане рівняння має вигляд:

.