Канонічне рівняння параболи

Означення 3.1. Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, що називається фокусом, і даної прямої, що називається директрисою.

Нехай М – довільна точка параболи, F – її фокус, d – директриса (рис. 4.19). За означенням параболи MF=MH, де Н – основа перпендикуляра, опущеного з точки М на директрису. Виведемо рівняння параболи. Виберемо прямокутну систему координат таким чином, щоб її початок збігався з серединою перпенди­куляра, опущеного з фокуса на директри­су, а вісь ОX проходила через фокус і була перпендикулярною до директриси.

Нехай М(х,у) – довільна точка параболи. Відстань від фокуса до директриси позначимо FK= p. Назвемо це число параметром параболи. Тоді , а рівняння директриси . Отже, ; . За означенням

,

звідки

;

. (1)

Отже, координати довільної точки параболи задовольняють рівняння (1).

Припустимо тепер, що координати деякої точки М ₁ (х ₁, у ₁ ) задовольняють рівняння (1): . Покажемо, що ця точка лежить на параболі. Обчислимо відстань

.

Отже, відстань від точки М ₁ до фокуса параболи дорівнює відстані до її директриси. Тому точка М ₁ належить параболі.

Таким чином, рівняння (1) є рівнянням параболи. Воно називається канонічним рівнянням параболи.