Побудова еліпса

Існують різні способи побудови еліпса залежно від того, якими елементами він заданий.

Розгляднемо спочатку спосіб побудови еліпса, заданого півосями а і b, тобто еліпс задано канонічним рівнянням

.

Виберемо прямокутну систему координат і з центром у початку координат побудуємо два концентричні кола з радіусом а і b (рис. 4.8). Точки А, А ₁ перетину кола (О; а) з віссю абсцис і точки В, В ₁ перетину кола (О; b) з вісттю ординат є вершинами еліпса.

Щоб побудувати довільну точку еліпса, проведемо з початку координат довільний промінь ON, який утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут . Позначимо через N ₁ точку перетину кола (О; а) з променем ON і через N ₂ – точку перетину кола (О; b) з променем ON. Через точку N ₁ проводимо пряму, паралельну осі ОY, через точку N ₂ – пряму, паралельну осі ОХ. Ці дві прямі, перетинаючись, дадуть точку М, яка належить еліпсу.

Щоб довести належність точки М еліпсу, позначимо через х і у її координати і виразимо їх через кут :

.

Отже,

(11)

Піднесемо обидва рівняння до квадрата:

Звідси

Після почленного додавання дістанемо: .

Отже, координати х і у побудованої точки М задовольняють рівняння еліпса, тому точка М належить еліпсу.

Проводячи різні промені під різними кутами , знайдемо аналогічним способом скільки завгодно точок еліпса. Сполучивши їх плавною лінією, матиметмо еліпс.

Рівняння (11) називають параметричними рівняннями еліпса, роль параметра відіграє кут :

Розглянемо ще механічний спосіб побудови еліпса. Простішим прикладом механічного (неперервного) креслення еліпса є такий, що ґрунтується на означенні еліпса. Візьмемо нерозтяжну нитку завдовжки 2а, закріпимо її кінці у двої точках, які будуть фокусами еліпса, а потім, натягуючи нитку кінцем олівця і пересувачи його по паперу, описуємо еліпс (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Рис. 4.10

На цьому простому прицнипі будуються механічні прилади, за допомогою яких виконують креслення еліпса. Такі прилади називаються еліпсографами.

Один із приладів для механічного креслення еліпса сконструював видатний італійський художник, вчений і інженер епохи Відродження Леонардо да Вінчі (1452 – 1519). Цей прилад називають еліптичним циркулем. Його побудова і застосування зрозумілі з рис. 4.10.

§2. Гіпербола