Дослідження форми еліпса

Розглянемо канонічне рівняння еліпса

. (3)

Аналізуючи це рівняння, дістанемо ряд властивостей еліпса.

1) Еліпс не проходить через початок координат, бо координати точки (0;0) не задовольняють рівняння (3).

2) Еліпс симетричний відносно координатних осей і початку координат, оскільки разом з точкою рівняння (3) задовольняють координати точок , симетричних даній точці відносно координатних осей і початку координат (рис. 4.2).

3) з рівняння еліпса випливає, що , тобто , або , звідки . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника з центром у початку координат, сторони якого дорівнюють і (рис. 4.3).

Точки , в яких еліпс перетинає свої осі симетрії, називаються вершинами еліпса. Відрізок 2 а називається великою віссю еліпса, відрізок 2 b – малою віссю, а – великою піввіссю, а b – малою піввіссю.

Якщо a=b, то еліпс вироджується в коло:

. (8)

Еліпс можна отримати з кола (8) шляхом стиснення площини до однієї з координатних осей. Покажемо це.

Розглянемо перетворення площини . Воно не змінює першу координату, а другу змінює в разів. Це перетворення є стиском площини до осі ОX з коефіцієнтом .

Знайдемо фігуру, в яку перейде коло при цьому стиску. Підставивши значення у (8), дістанемо

;

; .

Отже, як бачимо, коло переходить в еліпс (рис. 4.4).

Приклад 1. Еліпс проходить через точки і . Скласти рівняння еліпса, вибравши його осі за осі координат.

Розв’язання

Якщо осі еліпса збігаються з осями координат, то його рівняння записується в канонічній формі:

.

Еліпс проходить через дані точки M і N, тому їх координати задовольняють це рівняння. Складемо і розв’яжемо систему рівнянь:

Отже, рівняння еліпса має вигляд:

.

Приклад 2. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між фокусами дорівнює 6, а велика піввісь дорівнює 5.

Розв’язання

За умовою задачі 2 с= 6, а= 5. Із формули (2) §1 маємо:

.

Тому рівняння еліпса має вигляд:

.