Канонічне рівняння еліпса

Означення 1.1. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней від яких до двох фіксованих точок цієї площини, що називаються фокусами, є величина стала.

Нехай М – довільна точка еліпса, а – його фокуси (рис. 4.1). Відстань між фокусами називається фокусною відстанню. Позначимо = 2 с. Відстані від точки М до фокусів називаються фокальними радіусами точки М. За означенням еліпса , позначимо її . За нерівністю трикутника: , тобто , або

. (1)

Виведемо рівняння еліпса. Виберемо прямокутну систему координат таким чином, щоб її початок збігався з серединою відрізка , а вісь ОХ проходила через фокуси (рис. 4.1). Нехай М (х, у) – довільна точка еліпса. Координати фокусів у цій системі координат: . За формулою відстані між двома точками визначимо і : . За означенням еліпса ; тобто

;

.

Піднісши обидві частини цієї рівності до квадрата, дістанемо

;

Підносячи до квадрата обидві частини, матимемо

;

;

.

Оскільки згідно з (1) , то . Позначимо , тоді

(2)

і рівняння матиме вигляд

,

або

. (3)

Таким чином, ми показали, що координати будь-якої точки еліпса задовольняють рівняння (3).

Покажемо тепер, що будь-яка точка, координати якої задовольняють рівняння (3), належить еліпсу. Нехай такою точкою є , тобто

. (4)

Звідси

. (5)

Тоді

.

Аналогічно можна показати, що

.

З рівності (4) випливає, що , тобто , або . Тому, якщо , то

.

Якщо ж , то очевидно, що . Тому

. (6)

Якщо , то , а при

.

Отже, , тому

. (7)

Знайдемо суму відстаней:

.

Отже, точка належить даному еліпсу, а рівняння (3) є рівнянням еліпса. Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса.