Аналітична геометрія

Л.В.Ваврикович

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів вищих педагогічних навчальних закладів

Київ

“Вища школа”

УДК

ББК

Я 47

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

як навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів вищих педагогічних навчальних закладів

Протокол № від

Рецензенти:

Кобко Л.М. – доцент, канд.. техн. наук, зав. кафедри алгебри і геометрії Чернігівського державного педагогічного університету імен ім.Т.Г.Шевченка

Я 47 Яковець В.П., Боровик В.Н., Ваврикович Л.В.

Аналітична геометрія: Навчальний посібник. – К.: Вища школа, 2003. – с.

У навчальному посібнику викладено основні відомості з векторної алгебри та аналітичної геометрії на площині і в просторі у відповідності з діючою програмою курсу аналітичної геометрії для студентів фізико-математичних факультетів вищих педагогічних навчальних закладів. Виклад теоретичного матеріалу супроводжується прикладами його застосування до розв’язування відповідних задач.

В основу посібника покладено курси лекцій, які протягом багатьох років читаються авторами.

ISBN ББК 22.151.5

© Яковець В.П., В.Н.Боровик, Л.В.Ваврикович, 2003

ПЕРЕДМОВА

У студента-першокурсника фізико-математичної спеціальності педагогічного вузу з перших днів навчання виникає запитання: навіщо вчити з математики (та й інших дисциплін) те, чого не будеш викладати в школі? Доводиться роз’яснювати, що педвуз дає вищу освіту, а не середню, і вузівські програми з різних дисциплін, в тому числі й з математики, передбачають такий рівень знань, який дасть можливість майбутньому вчителю відповісти на будь-які запитання, що виникнуть в учнів у процесі вивчення даної дисципліни. Учитель, знаючи більше, ніж вимагає шкільна програма, зможе вибрати оптимальну методику викладання відповідного матеріалу, зможе збудити інтерес учнів до вивчення математики, складовою частиною якої є геометрія.

Наявність широкої математичної підготовки – необхідна умова успішної творчої роботи вчителя в школі.

Наприклад, розв’язуючи задачу про поділ кута на дві рівні частини циркулем і лінійкою, в допитливих учнів природно виникає запитання, як поділити кут на три і більше рівних частин циркулем і лінійкою?

Аналогічно при вивченні многокутників і побудові правильних n-кутників при n=-3, 4, 5, 6 в учнів виникає запитання: а як побудувати правильний семикутник чи дев’ятикутник? Відповіді на ці і на багато інших подібних запитань ні вчитель, ні учень не знайде в шкільному підручнику з геометрії. Ось тут і виручать учителя знання, які він отримав у курсі геометрії педвузу.

При проведенні екскурсії в картинну галерею учні можуть запитати у вчителя, чому однакові в натурі будинки на картині мають різні розміри, і ті, що ближче – більші, а ті, які далі – менші, чому вулиці на картині в частині, що ближче до нас, ширші, а ті що далі – вужчі, хоч насправді вони мають однакову ширину. Вчитель зможе це пояснити, бо в педвузі вивчав методи зображення просторових об’єктів на площині.

При вивченні фізики та астрономії вчитель також зустрічається з деякими геометричними поняттями, які виходять за межі шкільної програми. Такими поняттями, наприклад, є лінії другого порядку. Так, при вивченні траєкторії руху планет Сонячної системи маємо справу з еліпсами; траєкторією руху снаряда чи ракети, випущених під гострим кутом до горизонту, є парабола; графіком оберненої пропорційності або графіком закону Бойля-Маріотта є гіпербола.

Отже, вчитель повинен досконало знати ці криві, тому їм приділено достатню увагу в курсі аналітичної геометрії. Таких прикладів можна навести багато, всі вони підтверджують, що вчитель математики і фізики повинен мати з цих дисциплін значно більший обсяг знань, ніж того вимагає шкільна програма.

Вивчаючи вищу математику, складовою частиною якої є аналітична геометрія, майбутній вчитель одночасно оволодіває і загальною математичною культурою, розвиває своє математичне мислення, набуває вміння легко і швидко орієнтуватися в різних математичних ситуаціях.

Навчальний посібник написано за діючою програмою з аналітичної геометрії для студентів фізико-математичних спеціальностей педагогічних університетів.

Історичні відомості про виникнення і розвиток геометрії, про предмет і метод аналітичної геометрії викладені у вступі.

У першій частині “Аналітична геометрія на площині” розглянуто елементи векторної алгебри (розділ І), які потім використовуються при викладенні основних положень методу координат на площині (розділ 2), при вивченні різних форм рівняння прямої (розділ 3) та рівнянь ліній другого порядку (розділ 4).

Друга частина посібника присвячена питанням аналітичної геометрії в тривимірному просторі. В ній, зокрема, розширено відомості з векторної алгебри в просторі (векторний і мішаний добутки векторів – розділ 5), рівняння площини і прямої в просторі (розділ 6) поверхні другого порядку (розділ 7).

Одне з найважливіших завдань курсу аналітичної геометрії полягає в тому, щоб навчити майбутнього вчителя вмінню застосовувати аналітичний метод до розв’язування задач з геометрії, в тому числі і задач шкільної математики. Тому в посібнику приділена значна увага розв’язуванню задач координатним методом.

Посібник написано на основі багаторічного досвіду викладання авторами курсу аналітичної геометрії в Ніжинському та Чернігівському педуніверситетах.

Автори виловлюють щиру вдячність рецензентам, поради яких сприяли поліпшенню посібника.

Автори.

Покажчик вживаних символів

A, В, C, D,.... – точки.

a, b, c, d … - прямі.

α, β, γ... – площини.

АВ – пряма з довільними точками А і В на ній.

[АВ] – відрізок, А і В – його кінці.

[АВ) – промінь, А – початок, В – довільна точка променя.

- напрямлений відрізок, - його довжина.

, - вектор.

↑↑ - однаково напрямлені (співнапрямлені) відрізки, вектори.

↑↓ - протилежно напрямлені відрізки, вектори.

, - довжина (модуль) вектора

, - нульовий вектор.

|| - паралельність прямих, колінеарність векторів.

- перпендикулярність прямих, векторів.

(АВС) – площина, визначена точками А, В, С

- кут з вершиною в точці О.

- кут з вершиною В і точками А і С на його сторонах.

- кут з сторонами а і b.

- кут між векторами і .

, , - градусна міра кута.

- дуга кола, А і В – її кінцеві точки.

- градусна величина дуги АВ.

, - коло з центром О і радіусом R.

- круг з центром О і радіусом R.

- скалярний добуток векторів.

- векторний добуток векторів.

- мішаний (векторно-скалярний) добуток векторів.

V ₃, V ₂, V ₁ – простори тримірний, двомірний, одноміний відповідно

- базис просторів V ₃, V ₂.

- ортонормований базис простору V ₃.

, - афінна система координат у просторі, на площині

, ОХY – система координат у просторі, на площині.

ОХ, OY, OZ – відповідно осі абсцис, ординат, аплікат

, - прямокутна система координат з початком О у просторі V ₃, V ₂.

- вектори з координатами x ₁, y ₁, z ₁.

- базис А у просторі V ₃.

- слідує, випливає.

- рівносильна, еквівалентна.

- відображається.

- квантор загальності (кожний, всякий).

- квантор існування (існує).

- кожний х належить фігурі F (множині F).

- існує х, який належить фігурі F (множині F).

- детермінант (визначник) А.

- визначник матриці переходу від базису А до базису В.

ЗМІСТ

Передмова............................................................................................................. 3

Покажчик вживаних символів 5

Вступ 11

1. Історичні відомості про виникнення і розвиток геометрії..................... 11

2. Предмет і метод аналітичної геометрії...................................................... 13

РОЗДІЛ І. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

§ 1. Скалярні та векторні величини................................................................. 18

§ 2 Поняття вектора.............................................................................................. 20

2.1. Напрямлені відрізки........................................................................... 20

2.2. Вектор як множина співнапрямлених відрізків.......................... 21

2.3. Рівність векторів................................................................................. 22

§ 3. Додавання і віднімання векторів............................................................... 24

3.1. Правила додавання векторів............................................................ 24

3.2. Властивості операції додавання векторів..................................... 25

3.3. Віднімання векторів............................................................................. 27

§ 4. Множення вектора на число....................................................................... 28

§ 5. Колінеарні і компланарні вектори............................................................. 32

5.1. Колінеарність векторів........................................................................ 32

5.2. Компланарність векторів.................................................................... 33

§ 6. Лінійна залежність векторів........................................................................ 37

§ 7. Тривимірний векторний простір і його підпростори............................ 40

§ 8. Координати вектора..................................................................................... 43

§ 9. Координати вектора в ортонормованому базисі................................... 48

§ 10. Скалярний добуток векторів.................................................................... 50