![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция f(x) определена на интервале (а,b) и в некоторой окрестности точка зтого интервала имеет наибольшее или наименьшее значений. Тогда, если в точке
существует производная, то она равна 0,т.е. f’(
)=0. Доказательство
Пусть для определенности функция f(x) в точке имеет наибольшее значение, т.е.
для любого х Î (аb).
Это значит, что для любой точки
Поэтому если и следовательно,
, если же
т.е.
и, следовательно,
Получили, что правая произвдная в точке
неположительная, а левая - не отрицательная- По условию, f’(
). существует и, значит,
Это возможно только в случае, когда
Аналогично рассматривается случаq когда в точхе
функция f(х) имеет наименьшее значение. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если функция f(x) имеет в точке локальный экстремум и функция f(х) дифференцируема в этой точке, т.е. существует касательная к графику функции в точке (
,f(
)), то эта касательная параллельна оси Ох:,
Замечание, Теорема неверна, если функцию f(x) рассматривать на отрезке [a,b]
№ 47. Теорема Ролля
Теорема (теорема Ролля). Пусть на [a,b] определена функция f(x), причем:
1} f(x) непрерывна на [a,b];
2) f(x) дифференцируема на (a,b)
3)f(a)=f(b)
Тогда существует точка-сÎ(а,b), в которой f '(c) =0-
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 199 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!