 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Теорема (теорема Ферма)
|
|
Пусть функция f(x) определена на интервале (а,b) и в некоторой окрестности точка 
зтого интервала имеет наибольшее или наименьшее значений. Тогда, если в точке существует производная, то она равна 0,т.е. f’()=0. Доказательство
Пусть для определенности функция f(x) в точке имеет наибольшее значение, т.е. 
для любого х Î (аb).
Это значит, что 
для любой точки 
Поэтому если 
и следовательно, 
, если же 
т.е. 
и, следовательно, 
Получили, что правая произвдная в точке неположительная, а левая - не отрицательная- По условию, f’(). существует и, значит, 
Это возможно только в случае, когда 
Аналогично рассматривается случаq когда в точхе функция f(х) имеет наименьшее значение. Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если функция f(x) имеет в точке локальный экстремум и функция f(х) дифференцируема в этой точке, т.е. существует касательная к графику функции в точке (,f()), то эта касательная параллельна оси Ох:,
Замечание, Теорема неверна, если функцию f(x) рассматривать на отрезке [a,b]
№ 47. Теорема Ролля
Теорема (теорема Ролля). Пусть на [a,b] определена функция f(x), причем:
1} f(x) непрерывна на [a,b];
2) f(x) дифференцируема на (a,b)
3)f(a)=f(b)
Тогда существует точка-сÎ(а,b), в которой f '(c) =0-
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 184 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
