Прием логарифмического дифференцирования. Производная функции с любым вещественным показателем

Производная функции выражается формулой

Доказательство.

Так как . Дифференцируя обе части этого равенства по х и используя теорему 6.5 имеем,

Отсюда, учитывая, что , получаем

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.

Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:

lny = vlnu