![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Означення 3.27. Точка називається граничною точкою множини
, якщо існує її окіл, точки якого, крім, можливо, самої точки
, належать множині
.
Розглянемо поведінку функції , що визначена в деякому околі граничної точки
. У цьому околі можна побудувати числову послідовність
, яка має своєю границею число
. За умовою, що
, функція
буде визначена в усіх точках
, тобто відповідні значення функції також утворюють числову послідовність
. Зрозуміло, що послідовностей
можна побудувати скільки завгодно. Відповідно, послідовностей значень функцій
також буде нескінченна кількість.
Наприклад, . Обчислимо її границю:
Означення 3.28. (Означення границі функції за Гейне).
Число називається границею функції
при
, що прямує до
, якщо для будь-якої числової послідовності
, границя якої є число
, послідовність відповідних значень функції
має границею число
.
За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:
.
Позначається це так:
.
Означення 3.29. (Означення границі функції за Коші).
Число називається границею функції
при
, що прямує до
, якщо для будь-якого додатного числа
існує додатне число
, яке залежить від
, таке, що для всіх
, які задовольняють нерівності
, відповідні значення функції задовольняють нерівності
.
За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:
.
Означення 3.30. (Геометричне означення границі функції).
Число називається границею функції
при
, що прямує до
, якщо для будь-якого додатного числа
існує додатне число
, яке залежить від
, таке, що для всіх
, які належать
-околу точки
, відповідні значення функції належать
-околу точки
.
За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:
.
Виходячи з означення границі за Гейне, можна сформулювати і довести властивості границі функцій, спираючись на відповідні властивості числових послідовностей. Разом з тим, деякі властивості границі функції потребують уточнення.
Наприклад, необхідна умова збіжності числових послідовностей є їх обмеженість. Ця ж умова для функцій буде такою: якщо функція має границю при , то існує деякий окіл точки
, у якому функція є обмеженою.
Згідно з означенням границі за Гейне, розглядати треба всі числові послідовності , які мають границею
. Серед них можна відокремити такі, що задовольняють деяким додатковим умовам, наприклад
.
Якщо всі послідовності значень функції, побудовані на основі таких послідовностей, мають рівні границі, то кажуть, що в точці функція має односторонню границю, у даному випадку ліву:
.
Аналогічно визначається правостороння границя:
.
Теорема 3.18. Для того щоб існувала границя функції при
, необхідно і достатньо, щоб існували і були рівними її право- і лівосторонні границі (Без доведення).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 593 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!