Тіла обертання

У підручнику О.В.Погорєлова йдеться про тіла обертання і відпо­відні їм поверхні: циліндр - поверхня циліндра, конус - поверхня конуса, куля - сфера. Традиційно тіла обертання і відповідні їм поверхні вивчаються після многогранників. В цьому разі викори­стовується відоме учням на наочному рівні поняття «тіло», а по­слідовність вивчення окремих тіл обертання відповідає прийнятій послідовності вивчення многогранників: призма, піраміда, пра­вильний многогранник - циліндр, конус, куля.

Цилін­дром (точніше, круговим циліндром) називається тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині і суміщають­ся паралельним перенесенням, і всіх відрізків, які з'єднують від­повідні точки цих кругів. Якщо пригадати запроваджене раніше означення призми, то, скориставшись моделлю циліндра і вказів­кою на схожість означень призми і циліндра, учні можуть само­стійно сформулювати означення циліндра.

Аналогічний підхід можна здійснити і при введенні означення конуса. Означення вписаної в циліндр і описаної навколо цилінд­ра призми не викликає в учнів труднощів. Після введення озна­чень цих понять учні самі можуть за аналогією сформулювати означення вписаної в конус і описаної навколо конуса піраміди. Означення кулі учні теж здатні сформулювати самостійно, якщо їм попередньо нагадати означення круга і привернути їхню увагу до аналогії в означеннях круга і кулі. Варто звернути увагу учнів на аналогію понять коло - сфера. Коло - межа круга, сфера - ме­жа кулі. Те ж саме стосується понять дотичної до кола і дотичної площини до сфери (кульової поверхні).

Після запровадження означень тіл обертання треба дати учням правила-орієнтири їх правильного і наочного зображення на площині.

При вивченні кожного з тіл обертання корисно зразу ж дати учням правила-орієнтири їх зображення.

Зображення циліндра:

1) побудувати прямокутник - осьовий переріз циліндра, в якому нижню основу зобразити штриховою лінією; 2) беручи верхню і нижню основи прямокутника за діаметри основ циліндра, намалювати рівні еліпси, при цьому в нижній основі частину еліпса, яку не видно, зобразити штриховою лінією.

Зображення конуса:

1) спочатку провести діаметр основи конуса штриховою лінією, а потім з його сере­дини О провести перпендикуляр - висоту конуса; позначити на проведеному перпендикулярні вершину S конуса; 2) зобразити в основі еліпс, провівши штриховою лінією його невидиму час­тину; 3) провести діаметр АС приблизно під кутом 10° до горизон­тального діаметра; точку А взяти за точку дотику твірної конуса; 4) провести твірну SA і симетрично до неї стосовно висоти SO - твірну SВ. Якщо треба зобразити осьовий переріз конуса, то можна провести твірну SС, яку видно. Тоді SАС- зображення осьово­го перерізу.

Наочним в ортогональній проекції є таке зображення кулі, в якому великий круг або будь-який переріз кулі горизонтальною площиною є еліпсом. Таке зображення можна дістати, коли вер­тикальний діаметр кулі нахилений під певним кутом до горизон­тальної площини. В цьому разі верхній кінець його зобразиться точкою N, розміщеною нижче від кола, що відокремлює видиму частину поверхні кулі від невидимої, а нижній кінець S - вище цього кола. Очевидно, що при такому зображенні більшу частину верхньої півсфери видно, а нижньої - не видно.

При зображенні перерізів верхньої і нижньої півкуль горизон­тальними площинами, відмінними від великого круга, треба вра­ховувати таке. Зображення перерізу верхньої півсфери - еліпс, який дотикається до сфери не в кінцях зображення горизонталь­ного діаметра, а в кінцях А і В паралельної йому хорди. Тому центр еліпса зобразиться точкою O₁ розміщеною нижче від хорди АВ, а центр О₂ в перерізі нижньої півсфери - вище, ніж відповідна хорда СD. Якщо через точки А і O₁ провести діаметр АК, то це - один з діаметрів, з яких зручно починати побудову двох взаємно перпендикулярних діаметрів зображення кола. У верхній півсфері більшу частину еліпса (зображення перерізу) видно, а в нижній півсфері, навпаки, більшу частину еліпса не видно.