Тема: Координати і вектори в просторі. Основна мета теми при навчанні в профільних класах

1. Введення декартових координат.

2. Доведення формул відстані між двома точками і координат середини відрізка в просторі.

3. Розв'язування стереометричних задач координатним методом

4. Вектори в стереометрії.

В гуманітарних класах тема «Координати і вектори в просторі» розглядаються лише теоретично.

В профільних класах тема: «Координати і вектори в просторі» є апаратом для розв’язування задач, тобто використовується координатний метод, векторний метод, координатно-векторний метод.

Ця тема продовжує за матеріалами стереометрії розвивати ідеї координатного і векторного методів з курсу планіметрії. Особливість її полягає в тому, що багато означень понять планіметрії без змін «переходять у простір» (наприклад, перетворення фігур, симетрія фігур відносно точки, прямої, гомотетія, вектор, абсолютна величина вектора). Без зміни формулюється низка тверджень, що виражають властивості перетворень і векторів (наприклад, властивості паралельного перенесення, теореми про властивості рівних і колінеарних векторів, скалярного добутку). Багато понять і тверджень цієї теми означають та доводять аналогічно до відповідних понять і тверджень планіметрії, тому вивчення її надає великі можливості для використання аналогій. У зв'язку з цим перед розглядом нового матеріалу потрібно повторити відповідні відомості з планіметрії й організувати самостійну роботу учнів з новими поняттями та теоремами на основі аналогій.

Оглядовий характер вивчення теми і невелика кількість уроків, що передбачені для її опрацювання базовою програмою, не дають можливості систематично використовувати координатний і векторний методи для розв'язування геометричних задач у просторі. Проте такі задачі можна розв'язувати під час вивчення наступних тем, на заняттях математичного гуртка, факультативах. У класах з поглибленим вивченням математики це потрібно робити систематично.

Для забезпечення ефективного повторення і засвоєння нового матеріалу доцільно використовувати наочні посібники, в яких зіставляються відомості про вектори на площині і в просторі. З цією метою можна виготовити таблиці, послуговуватися персональними комп'ютерами, кодопозитивами.

Введення декартових координат.

Розглядаючи декартові координати у просторі, потрібно нагадати учням відомості про координати точок на прямій і площині. З цією метою можна застосувати в класі для фронтальної роботи таку систему запитань і завдань.

1. Що таке координатна пряма? Чим визначається положення точок на координатній прямій?

2. Позначити на координатній прямій точки А (2), В (-3), С (2, 7). Знайти координати точки О (рис. 1).

рис. 1

3. Як визначити відстань між точками А₁ (х₁)і А₂ (х₂)координатної прямої?

4. Знайти відстань між точками А (2)і В (-3).

5. Що таке система координат на площині?

6. Чим визначається положення будь-якої точки на координатній площині? Що називається абсцисою; ординатою точки?

7. Як знайти точку М(х₁;у₁) на координатній площині, якщо задано її координати х₁ і у₁? Знайти точку N (1; - 2) на координатній площині (рис.2).

рис.2 рис.3

8. Як знайти координати точки Р, заданої на координатній площині (рис.2)?

9. Як визначити відстань між точками А (х₁;у₁)і В (х₂;у₂)за їх координатами?

10. Знайти відстань між точками А (1; -2) і В (-2; 2).

11. Визначити координати середини відрізка АВ, якщо А (1;0) і В(3;2).

Після введення декартових координат у просторі, означення координат і пояснення прямої задачі потрібно за готовим рисунком або за моделлю координатного простору пояснити два можливі способи розв'язування оберненої задачі. Перший спосіб наведено на рис.3

рис.4

Другий спосіб зводиться до побудови прямокутного паралелепіпеда (рис.4).

Можна зробити висновок про те, що положення будь-якої точки в координатному просторі задається впорядкованою трійкою чисел х, у, г. Кожній точці координатного простору відповідає певна впорядкована трійка чисел і, навпаки, кожній впорядкованій трійці чисел відповідає точка координатного простору.