Паралельність площин

Формулювання означень паралельності площин в навчальних посібниках, також як підходи до вивчення різні.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони:

1) не мають спільної точки 2) не перетинаються

(Атанасян Л.С.) (Погорелов О.С., Бевз Г.П.)

Із означення паралельності площин, однак не слідує існування паралельних площин. Існування доводиться наступною теоремою.

Теорема. Існує єдина площина, яка проходить через точку, яка не належить даній площині, і паралельна цій площині.

Доведення цієї теореми служить одночасно і доведенням достатності основної ознаки паралельності площин, яке виражається наступною теоремою. Для того, щоб дві площини були паралельні, необхідно і достатньо, щоб дві прямі, які перетинаються і лежать в одній площині, були паралельні двом прямим другої площини. Відповідно другої траковки паралельності, площина вважається паралельна площині, якщо вона її не перетинає. Ця трактовка більш широка, бо вона включає в себе, окрім паралельності в смислі першої трактовки ще й збіг площин.

В діючих підручниках з геометрії доводяться теореми: ознака паралельності двох площин (методом від супротивного), властивості паралельних площин, стосовно існування площини, паралельної даній, але в геометрії О.В. Погорєлова це теорема, а геометрія Г.П. Бевза- задача.

Головне, суттєве в темі: означення паралельності площин, ознака паралельності площин і опорні (базові) задачі.

В тему "Паралельність прямих і площин" входить розділ про паралельні проекції та їх властивості, який носить сугубо практичний характер і є благодатним матеріалом для розвитку просторової уяви і уявлень учнів.

Поняття паралельного проектування вводиться за допомогою генетичного означення. Властивості паралельного проектування випливають із теорем, які доводяться.

Достатні умови паралельності прямих, прямих і площин, площин:

- ознаки паралельності прямих, площин, прямих і площин, які доводяться методом від супротивного;

умова колініарності векторів: а//b, якщо a = kb'

- властивість деяких перетворень зберігати паралельність прямих і площин: паралельне перенесення, центральна симетрія, гомотетія;

- властивість деяких фігур мати паралельні відрізки: завжди паралельні протилежні сторони паралелограма, бокові ребра призми, середні лінії трикутника і трапеції паралельні до своїх основ;

- алгебраїчні умови паралельності прямих, площин.

Перпендикулярність прямих на площині.

Основою учення про перпендикулярність прямих в середній школі є поняття кута між прямими і уміння вимірювати величину кута. Вводяться означення перпендикулярних прямих, перпендикуляра до даної прямої. Важливо звернути увагу на відмінність понять перпендикулярні прямі і перпендикуляр до даної прямої. Перлендикуляр до даної прямої є відрізок, один кінець якого лежить на прямій, до якої він перпендикулярний. Існування перпендикулярних прямих показується конструктивно. Доведення єдиності перпендикуляра до прямої, який проходить через дану точку, може спиратися на різні положення.

В підручнику Погорєлова О.В. [159] при доведенні єдиності використовують аксіоми відкладування кутів, а в інших, зокрема в підручнику Бевза В.Г. [12] при доведенні єдиності перпендикуляра до прямої використовують положення про те, що в трикутнику не може бути двох прямих кутів.

В розділі про перпендикулярність прямих на площині розглядається поняття похилої до даної прямої. Особливо розглядається випадок про перпендикуляр і похилі до даної прямої, які проходять через точку поза нею, бо в одному випадку перпендикуляр і похилі виступають як геометричні фігури - прямі, а в іншому - як величини. Це робиться для короткості формулювань теорем, які розкривають властивості перпендикуляра і похилих, проведених із однієї і тієї ж точки до однієї і тієї ж прямої.

Перпендикулярність в просторі.

Всю тему умовно поділяють на три частини:

- перпендикулярність прямих в просторі;

- перпендикулярність прямої і площини;

- перпендикулярність площин.

В процесі вивчення кожної із вказаних частин потрібно виходити із загальної схеми взаємного розташування прямих і площин, з якою учні познайомилися на початку курсу стереометрії при вивченні паралельності в просторі.

Ця тема має великий прикладний характер, а тому при вивченні особливу увагу потрібно приділити розв'язанню задач; в задачах бажано використовувати многогранники (призми і піраміди) з метою підготовки учнів до вивчення відповідного розділу в курсі стереометрії 11 класу.

В навчальних посібниках по стереометрії прийняті різні означення перпендикулярності прямої до площини.

В діючих підручниках по геометрії (стереометрія) прийнято означення перпендикулярності прямої до площини "Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину". В зв'язку з цим ознака перпендикулярності прямої до площини формулюється наступним чином: "Якщо пряма перпендикулярна до двох перетинаючих прямих цієї площині, то вона перпендикулярна і до площини" (О.В. Погорєлов). Доведення основане на застосуванні ознак рівності трикутників. Доведення досить громіздке. Методична схема вивчення ознаки перпендикулярності прямої до площини може бути такою: 1) підвести учнів до ознаки, сформулювати його; 2) виконати логічний аналіз ознаки, малюнок, короткий запис; 3) повідомити ідею доведення (в загальних рисах); 4)виконати додаткові побудови; 5) сформулювати ідею доведення в більш конкретній формі; 6) вказати план доведення; 7) закріпити доведення по частинам; 8) відтворити доведення повністю.

Ознака перпендикулярності прямої до площини лежить в основі побудови прямої, перпендикулярної до даної площини і площини перпендикулярної до даної прямої. На основі перпендикулярності прямої до площини вводяться поняття: "відстань від точки до площини", "кут між прямою і площиною". Розглядаються властивості перпендикулярності прямої і площини, а також доводиться теорема про три перпендикуляри. Ця теорема заключає в собі необхідну і достатню умови перпендикулярності прямої, що лежить в площині, тому необхідні і достатні умови потрібно розглядати як окремі теореми (відповідно пряму і обернену теореми). В подальшому, після вивчення векторів, теорему про три перпендикуляри можна довести векторним методом.

Слід зауважити, що опорні (базові) задачі з теми бажано вказувати відповідно наступних питань: означення перпендикулярності прямої і площини, ознака перпендикулярності прямої і площини, перпендикуляр і похила.