Паралельність прямих і площин

В дев'ятирічній школі розглядають основні питання теорії паралельності, яка викладається без належної повноти і строгості, але утворює достатню базу для розгляду паралельності в просторі. Учення про паралельність прямих в курсі планіметрії можна розділити на слідуючі частини:

- означення паралельних прямих;

- існування паралельних прямих;

- побудова паралельних прямих;

- аксіома паралельних;

- властивості паралельних прямих;

- ознаки паралельних прямих;

- застосування вивченої теорії.

Різко окреслених меж між виділеними частинами не може бути, останній розділ, безперечно, присутній в усіх попередніх.

Формулювання означень паралельних прямих в навчальних посібниках, як і підходи до їх вивчення різні.

Дві прямі називаються паралельними, якщо вони:

1) лежать в одній площині;

2) не перетинаються;

3) не мають спільних точок.

Перша трактовка паралельності прямих, які лежать на площині, найбільш широка, ніж друга, що вона включає в себе окрім паралельності в смислі другої трактовки, ще і принадлежність прямої до площини. В діючих підручниках з геометрії розглядається перша трактовка паралельності прямих. Питання існування паралельних прямих також розв'язується по-різному. Виділяються два підходи:

1) розглядається спеціальна теорема, показуюча існування паралельних прямих, а потім дається аксіома паралельних (Атанасян Л.С. і ін.);

2) розглядається аксіома паралельних прямих, о потім доводиться теорема, показуюча існування таких прямих (Погорєлов О.В.).

Існування паралельних прямих обґрунтовується в посібниках з геометрії двома шляхами, а саме: на основі центральної симетрії або на основі властивостей кутів, утворених при перетині двох прямих третьою (Погорелов О.В., Бевз Г.П., Атанасян Л.С.).

В практиці школи велике поширення одержали обгрунтування ознаків паралельності прямих на основі порівняння кутів, утворених при перетині двох прямих третьою.

За змістом задачі цієї теми поділяються на три групи:

- задачі на пряме застосування аксіоми паралельності;

- задачі на застосування ознак паралельності прямих;

- задачі на застосування теорем, обернених ознакам паралельності прямих.