Основний зміст

Для математичного аналізу поняття границі має першорядне значення. Саме введення поняття границі дало можливість розглядати не лише стани, а й процеси.

У загальноосвітній школі учні вивчають границі числової послідовності і функції.

Методична схема введення поняття:

1. Проілюструвати на конкретних прикладах.

2. Після чого перейти до узагальнення.

3. Розглянути два-три приклади і контрприклади, зокрема, коли члени послідовності підходять до границі з обох боків (коливні послідовності) і коли вони поперемінно наближаються то до одного, то іншого числа.

(Якщо числова послідовність має границю, то тільки одну).

4. Сформулювати загальноприйняте означення цього поняття.

Означення доцільно ілюструвати на конкретних прикладах і геометрично, причому не тільки на числовій осі, а й на координатній площині.

Крім границі послідовності, в математичному аналізі відіграє важливу роль і поняття границі функції. Як і границю послідовності, поняття границі функції треба вводити конкретно - індуктивним методом, тобто спочатку пояснити його на кількох конкретних прикладах, краще з використанням графіків функцій, а вже потім робити узагальнення.

Питання про неперервність функції розглядають після введення поняття границі функції в точці.

Різні підходи до введення похідної.

2) Логічний підхід- похідна і інтеграл вводяться за допомогою поняття границі функції в точці.

3) Історичний підхід- похідна і інтеграл вводяться без використання поняття границі функції в точці, тобто спочатку сформовані поняття похідної і інтеграла і пізніше, як узагальнення понять - поняття границі функції. При такому підході в шкільному підручнику більше уваги приділяється практичному аспекту вивчення похідної, а не теоретичному.

Похідна та її застосування.

Роль даної теми в шкільному курсі математики її практична значимість, зв'язок з вивченням інших дисциплін.

Підготовча робота до вивчення похідної: приклади з фізики (середня та миттєва швидкість руху точки, зміни функції).

Механічний та геометричний зміст похідної:

Дотична д о графіку фу нкції - є граничне положення січної при

Геометричний зміст похідної: кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює

Окремий випадок: дотична паралельна осі абсцис.

Рівняння дотичної:

Застосування похідної

- до наближених обчислень;

- до фізики і техніки:

Механічний зміст похідної:

- до дослідження функції

Зростання і спадання, критичні точки функції, максимуми і мінімуми, найбільше і найменше значення функції.

Приклад повного дослідження функції з складанням таблиці та побудовою графіка.

Три основних етапи розв'язування практичних задач методом математичною моделювання:

- формалізація (переклад текстової задачі на мову математики);

- розв'язування одержаної математичної задачі;

- інтерпретація знайденого розв'язку (переклад з мови математики в терміни початкової задачі).