Двойной интеграл в полярных координатах

Если область интегрирования представляет собой круг или его часть, для упрощения производимых вычислений переходят к полярным координатам. Формулы перехода от декартовых координат x и y к полярным координатам и имеют вид:

(24.4)

Формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам имеет вид:

(24.5)

где – область в полярной системе координат, соответст­вующая области D в декартовой системе координат;

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах также переходят к повторному интегралу. При этом используют понятие области, правильной в полярной системе.

Область D называют правильной в полярной системе, если всякий луч, выходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает только одну (только один раз) «линию входа» и только одну (только один раз) «линию выхода».

В случае правильной области (рис. 24.12) верна формула

(24.6)

Рис. 24.12

Если область интегрирования D ограничена эллипсом или его частью, обосновано применение обобщенных полярных координат, переход к которым осуществляется по формулам:

(24.7)

Тогда

(24.8)

где – область в обобщенной полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Далее переходят к повторному интегралу.