Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

(25.1)

где v – объем области V.

Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах основано на понятии правильной пространственной области. Область V называют правильной в направлении оси Oz, если:

1) всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку пространственной области V параллельно оси Oz, пересекает только один раз (только одну) «поверхность входа» и только один раз (только одну) «поверхность выхода»;

2) проекция D пространственной области V на плоскость xOy является правильной плоской областью в направлении оси Ox или Oy.

Пусть область V является правильной в направлении оси Oz, ограниченной снизу поверхностью а сверху – поверхностью (рис. 25.1). Пусть она проектируется на область элементарную в направлении оси Oy, и снизу ее ограничивает кривая а сверху – кривая (рис. 25.2).

Рис. 25.1

Рис. 25.2

Тогда справедлива следующая формула:

(25.2)

причем интеграл в правой части равенства называется повторныминтегралом от функции f (x; y; z) по области V с внешним интегрированием по x, а – внутренним интегралом по переменной z.

Аналогично рассматривают пространственные области, правильные в направлении оси Ox или Oy, и применяют соответствующие формулы перехода к повторным интегралам.

Если область интегрирования V не подпадает под эти случаи, необходимо произвести разбиение этой области V на конечное число правильных областей и воспользоваться свойством аддитивности.