Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Если область интегрирования при вычислении тройного интеграла представляет собой тело, ограниченное цилиндром или некоторой его частью, целесообразно перейти к цилиндрическим координатам.

Формулы перехода от декартовых координат x, y и z к цилиндрическим координатам и z имеют вид:

(25.3)

где (или ), Формула замены переменных в тройном интеграле при переходе к цилиндрическим координатам имеет вид: (25.4)где – область в цилиндрической системе координат, соответствующая области V в декартовой системе координат; f (x; y; z) – функция, непрерывная в этой области. Вычисление тройных интегралов в цилиндрических координатах основано на понятии правильной пространственной области.Область V называют правильной пространственной областью в направлении оси Oz в цилиндрической системе координат, если:1) переход от декартовых координат к цилиндрическим осуществляется по формулам (25.3);2) всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку пространственной области V параллельно оси Oz, пересекает только один раз (только одну) «поверхность входа» и только один раз (только одну) «поверхность выхода»;3) проекция D пространственной области V на плоскость хОу является правильной в полярной системе координат.Аналогично в случае перехода к цилиндрическим координатам по формулам или

вводят понятие правильной пространственной области в направлении оси Оу или оси Ох в цилиндрической системе координат.