![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть отрезок разбит на
частей точками
:
.
Сплайном k-й степени называется функция, представляющая собой многочлен не выше k -й степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов
. Функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше k.
Например, непрерывная кусочно-линейная функция (ломаная) является сплайном первой степени с производной, терпящей разрыв в точках излома.
Пусть на отрезке определена функция
, значения которой в точках
равны
.
Задача интерполяции функции на отрезке
кубическим сплайном (сплайном третьей степени) состоит в нахождении функции
, равной многочлену третьей степени
на каждом отрезке
, т. е.
,
, (4.3)
причем значения сплайна в узлах интерполяции равны соответствующим значениям заданной функции
и сплайн-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков:
, (4.4)
, (4.5)
, (4.6)
. (4.7)
Условия (4.4) - (4.7) дают линейных алгебраических уравнений для определения
неизвестных коэффициентов
(p=0, 1, 2, 3; i=1, 2,..., n) при соответствующих степенях
в многочленах
.
Интерполяционный кубический сплайн для функции существует и является единственным, если вместе с этими уравнениями выполняется какая-либо пара дополнительных (краевых) условий:
1. ;
2. ;
3. .
Рассмотрим случай разбиения отрезка на n равных частей с шагом h, для которого
и
с использованием краевых условий 1-го типа.
Введем величины (наклоны сплайна в точках
(i=0, 1,..., n)).
Интерполяционный кубический сплайн вида
(4.8)
удовлетворяет условиям (4.4) ‑ (4.6) для любых . Из условия (4.7) и краевых условий 1-го типа можно определить n+1 параметр
:
.
Учитывая, что
а также краевые условия 1-го типа и условия (4.7), то получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных :
(4.9)
Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных и определить интерполяционный сплайн в виде соотношений (4.8). Система (4.9) может быть решена методом Гаусса или одной из его модификаций.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 360 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!