Тригонометрическими многочленами

Пусть на отрезке задана функция и определена система функций .

Обобщенным многочленом (полиномом) порядка (степени ) относительно системы функций называют функцию вида

,

где - некоторые постоянные.

Обобщенный многочлен называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции , если расстояние от функции до многочлена по среднеквадратичной норме (среднеквадратичное отклонение) наименьшее, т. е.

- наименьшее. (3.1)

Задачу нахождения такого многочлена называют задачей об интегральном среднеквадратичном приближении (аппроксимации) функции на отрезке обобщенным многочленом. Задача сводится к нахождению коэффициентов из условия о наименьшем :

, k=0, 1, 2,…, n. (3.2)

Скалярное произведение функций и на отрезке :

.

Норма функции на отрезке :

.

Квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением

,

где - коэффициенты Фурье, определяемые по формуле (3.2).

Пусть задана система тригонометрических функций

на отрезке . Для функции , интегрируемой с квадратом на отрезке , тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен

,

где , и - коэффициенты Фурье по тригонометрической системе функций, определяемые по формулам

,

,

.

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена от функции в данном случае выражается равенством

.

Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к норме аппроксимируемой функции , характеризует точность приближения и обозначается

.

Аппроксимация тригонометрическими многочленами предназначена для работы с аналитически заданными функциями.