Приклад 21. Знайти найбільше та найменше значення функції в області обмеженій лініями , що являє собою чотирикутник

Знайти найбільше та найменше значення функції в області обмеженій лініями , що являє собою чотирикутник.

Розв’язання

Знайдемо критичні точки всередині області, записавши необхідні умови екстремуму:

Таким чином, критична точка В ній

Дослідимо тепер функцію на екстремум на границі чотирикутника:

а) б) в) г) Відмітимо, що у випадках а), б), в), г) вершини чотирикутника враховуються лише один раз.

а) У цьому випадку Z буде функцією однієї змінної y, тому маємо Дослідимо цю функцію на екстремум на замкненому відрізку Знайдемо , звідки , Отже, і в ній Знайдемо значення функції на кінцях проміжку тобто в точках та ,

б) Аналогічно попередньому досліджуємо на екстремум функцію на проміжку Тому , і критична точка нe належить проміжку , тобто В кінці проміжку в точці знайдемо

в) Аналогічно випадку б) , і тому , Точка , на кінці проміжку в точці маємо

г) У цьому випадку і тому маємо . Критична точка Отже

Виберемо тепер серед точок ті, в яких функція приймає найбільше та найменше значення. Це будуть точки та , в яких

ІІІ. Завдання для контрольної роботи.

Завдання 1

Знайти градієнт функції у точці.

Варіанти завдань:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.