![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, який описується щільністю
.
Ляпунов довів, що коли випадкова величина є сумою дуже великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив яких на всю суму надзвичайно малий, то
має розподіл, близький до нормального.
Зупинимося детально на цьому законі розподілу.
Виявляється, що – це математичне сподівання, а
– середнє квадратичне відхилення нормального розподілу.
Зауважимо, що нормальний розподіл з довільними параметрами
і
називається загальним. Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами
і
. Якщо
– нормальна величина з параметрами
і
, то
– нормована нормальна величина, оскільки
,
.
Щільність нормального нормованого розподілу – це протабульована функція , а інтегральна функція нормованого нормального розподілу – це функція
. Таким чином, ймовірність попадання нормованої нормальної величини
в інтервал
можна обчислити, користуючись функцією Лапласа:
(тобто
).
Графік щільності загального нормального рівняння розподілу називається нормальною кривою (кривою Гаусса): .
Областю визначення цієї функції є вся числова вісь: . При цьому
,
. За допомогою першої похідної
неважко показати, що
монотонно зростає, а при
– спадає;
. Графік кривої Гаусса симетричний відносно осі
. За допомогою похідної другого порядку визначаємо, що при
та
крива має точки прегину, які відокремлюють проміжки увігнутості графіка
від інтервалу його вигнутості вгору
. Студентам рекомендується побудувати цей графік самостійно, використовуючи результати проведеного дослідження.
Зауважимо, що при зміні величина форма нормальної кривої не змінюється; крива зсувається вздовж осі
вправо, якщо
зростає, та вліво, якщо
спадає.
При зміні параметра площа, обмежена віссю
і нормальною кривою, залишається незмінною. Але при зростанні
максимальна ордината кривої спадає, а сама крива стає більш пологою, “ближчою” до осі
. При зменшенні
нормальна крива стає “гострішою”, розтягується в додатному напрямку осі
.
Знайдемо ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини:
.
Виконаємо заміну змінних ; одержуємо:
,
де – функція Лапласа. Отже,
.
За допомогою останньої рівності можна одержати формулу для обчислення ймовірності заданого відхилення . Дійсно,
Таким чином,
.
З цієї формули випливає, що чим менше , тим більше
і, значить, тим більша ймовірність
.
Нехай . У цьому випадку маємо:
.
При , зокрема, одержуємо:
.
Це – число, яке дуже мало відрізняється від одиниці. Таким чином, якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення. Це – правило трьох сигм.
Аналогічно доводиться правило двох сигм:
Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання з ймовірністю 0,954 не перевищує подвоєного середнього квадратичного відхилення:
.
Нормальному закону розподілу підпорядковуються будь-які розміри людського тіла (зріст, повнота і т.п.). Щоб задовольнити населення одягом, взуттям підходящих розмірів, потрібно знати, в якому асортименті слід випускати одяг і взуття тих чи інших розмірів.
Наприклад. Фабрика випускає 1000 штук чоловічих пальт в день для деякого регіону, де середній обхват грудей чоловічого населення дорівнює см, причому
см. Скільки виробів 48-го розміру повинна випускати фабрика в день, якщо цьому розміру відповідає інтервал обхвату грудей від 94 до 98 см?
Маємо:
(або 13,54%).
Це означає, що фабрика повинна випускати 135 пальт 48-го розміру.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 478 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!