Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Нормальним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, який описується щільністю
.
Ляпунов довів, що коли випадкова величина є сумою дуже великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив яких на всю суму надзвичайно малий, то має розподіл, близький до нормального.
Зупинимося детально на цьому законі розподілу.
Виявляється, що – це математичне сподівання, а – середнє квадратичне відхилення нормального розподілу.
Зауважимо, що нормальний розподіл з довільними параметрами
і називається загальним. Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами і . Якщо – нормальна величина з параметрами і , то – нормована нормальна величина, оскільки
,
.
Щільність нормального нормованого розподілу – це протабульована функція , а інтегральна функція нормованого нормального розподілу – це функція . Таким чином, ймовірність попадання нормованої нормальної величини в інтервал можна обчислити, користуючись функцією Лапласа:
(тобто ).
Графік щільності загального нормального рівняння розподілу називається нормальною кривою (кривою Гаусса): .
Областю визначення цієї функції є вся числова вісь: . При цьому , . За допомогою першої похідної неважко показати, що монотонно зростає, а при – спадає; . Графік кривої Гаусса симетричний відносно осі . За допомогою похідної другого порядку визначаємо, що при та крива має точки прегину, які відокремлюють проміжки увігнутості графіка від інтервалу його вигнутості вгору . Студентам рекомендується побудувати цей графік самостійно, використовуючи результати проведеного дослідження.
Зауважимо, що при зміні величина форма нормальної кривої не змінюється; крива зсувається вздовж осі вправо, якщо зростає, та вліво, якщо спадає.
При зміні параметра площа, обмежена віссю і нормальною кривою, залишається незмінною. Але при зростанні максимальна ордината кривої спадає, а сама крива стає більш пологою, “ближчою” до осі . При зменшенні нормальна крива стає “гострішою”, розтягується в додатному напрямку осі .
Знайдемо ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини:
.
Виконаємо заміну змінних ; одержуємо:
,
де – функція Лапласа. Отже, .
За допомогою останньої рівності можна одержати формулу для обчислення ймовірності заданого відхилення . Дійсно,
Таким чином,
.
З цієї формули випливає, що чим менше , тим більше і, значить, тим більша ймовірність .
Нехай . У цьому випадку маємо:
.
При , зокрема, одержуємо:
.
Це – число, яке дуже мало відрізняється від одиниці. Таким чином, якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищує потроєного середнього квадратичного відхилення. Це – правило трьох сигм.
Аналогічно доводиться правило двох сигм:
Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання з ймовірністю 0,954 не перевищує подвоєного середнього квадратичного відхилення:
.
Нормальному закону розподілу підпорядковуються будь-які розміри людського тіла (зріст, повнота і т.п.). Щоб задовольнити населення одягом, взуттям підходящих розмірів, потрібно знати, в якому асортименті слід випускати одяг і взуття тих чи інших розмірів.
Наприклад. Фабрика випускає 1000 штук чоловічих пальт в день для деякого регіону, де середній обхват грудей чоловічого населення дорівнює см, причому см. Скільки виробів 48-го розміру повинна випускати фабрика в день, якщо цьому розміру відповідає інтервал обхвату грудей від 94 до 98 см?
Маємо:
(або 13,54%).
Це означає, що фабрика повинна випускати 135 пальт 48-го розміру.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 452 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!