З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах. 1) Двовимірні випадкові величини, їх основні характеристики.

1) Двовимірні випадкові величини, їх основні характеристики.

2) Числові характеристики двовимірних випадкових величин (умовне математичне сподівання, кореляційний момент, коефіцієнт кореляції).

3) Функція випадкової величини.

4) Математичне сподівання функції одного випадкового аргументу.

1. Нехай на просторі елементарних подій задано дві випадкові величини – X i Y. Вектор (X, Y) називають 2-вимірною випадковою величиною.

Функцією розподілу випадкового вектора (X, Y) називають функцією двох змінних F(x, y) = p(X<x, Y<y). Геометрично функція F(x, y) дорівнює ймовірності потрапляння випадкової точки ((X, Y) у нескінченний квадрант (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до означення функції F(x, y).

Функція F(x, y) має такі основні властивості:

1. Функція розподілу неспадна по кожному аргументу.

2. Мають місце граничні рівності:

;

3. При функція розподілу випадкового вектора (X, Y) прямує до функції розподілу одновимірної випадкової величини Y. Аналогічно, при функція F (x, y) прямує до функції розподілу одновимірної випадкової величини X.

Двовимірну випадкову величину називають дискретною, якщо вона може набувати скінчену або зчисленну множину значень. Дискретну випадкову величину (X, Y) задають за допомогою таблиці 3 двома входами (таблиця 1). Тут - ймовірність того, що X = x_i Y = y_j (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, m) – для простоти ми вважаємо, що випадкова величина може приймати скінченне число, всього n m значень. При цьому виконується умова:

Таблиця 1.

Y X	х1	х2	…	хn
y1	p11	p12	…	p1n
y2	p21	p22	…	p2n
…	…	…	…	…
yn	pm1	pm2	…	pmn

Двовимірна випадкова величина називається неперервною, якщо ймовірність потрапляння випадкової точки (Х, Y) у довільну фіксовану точку дорівнює нулю. Випадкова величина (Х, Y) називається абсолютно неперервною, якщо існує така функція f (x, y), для якої виконується рівності: .

Функція f (x, y) називається щільністю розподілу випадкової величини.

Щільність розподілу f (x, y) має такі властивості:

а) б) в)

г)

Випадкові величини X i Y називаються незалежними, якщо
F(x, y)=F₁(x) F₂(y), де F₁(x) – функція розподілу випадкової величини Х, F₂(у) – величини Y. В противному випадку Х і Y є залежними.

2. Умовним законом розподілу називається розподіл однієї випадкової величини, знайдений за умови, що інша випадкова величина системи набула деякого фіксованого значення. Нехай (X, Y) – дискретна випадкова величина. Проілюструємо побудову умовного розподілу на такому прикладі.

ПРИКЛАД. Задано таблицюрозподілу двовимірної випадкової величини (X, Y) (Таблиця 2).

Таблиця 2

Y Х
-2	0,2	0,1	0,3
-1	0,1	0,15	0,15

Потрібно:

а) знайти безумовні закони розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y);

б) визначити умовний закон розподілу Х за умови, що Y = -2;

в) виявити, залежні чи ні випадкові величини Х і Y.

Розв’язування.

а) Щоб записати безумовні закони розподілу X і Y, обчислимо наступні ймовірності:

Отже, безумовні закони розподілу X i Y мають вигляд: (Таблиця 3, Таблиця 4).

Таблиця 3	Таблиця 4
Х       р 0,3 0,25 0,45	Y -2 -1 р 0,6 0,4

б) Для побудови умовного закону розподілу Х за умови, що Y=-2, обчислимо умовні ймовірності

Таким чином, умовний закон розподілу Х за умови, що Y=-2, матиме вигляд, представлений у Таблиці 5.

Таблиця 5

Х
р(Х)/Y=-2

в) Порівняємо безумовний закон розподілу величини Х (Таблиця 3) і умовний закон її розподілу (Таблиця 5). Оскільки ці закони розрізняються між собою, робимо висновок: величини Х і Y залежні.

Математичним сподіванням 2-вимірної випадкової величини (Х, Y) називається 2-вимірний вектор (М(Х), М(Y)), де М(Х) і М(Y) – математичні сподівання випадкових величин Х і Y відповідно.

Дисперсією (або дисперсійною матрицею) 2-вимірної випадкової величини (Х, Y) називається сукупність трьох чисел, що визначаються формулами:

причому і - дисперсії компонент випадкових величин, а - коваріація (кореляційний момент) випадкових величин Х і Y.

Коваріацію можна обчислити за формулою

Якщо Х і Y – дискретні випадкові величини, то коваріацію розраховують за формулою:

Якщо ж Х і Y - неперервні випадкові величини, то для обчислення коваріації користуються інтегральною формулою:

Коефіцієнтом кореляції системи випадкових величин (X, Y) називається числом ρ.

Для будь-яких випадкових велечин . Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, то . Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Випадкові величини Х і Y, для яких , називаються некорельованими.

ПРИКЛАД. Система дискретних випадкових величин (Х і Y) задана таблицею розподілу ймовірностей (Таблиця 6). Обчислити математичні сподівання М(Х) та М(Y), середні квадратичні відхилення і , кореляційний момент і коефіцієнт кореляції .

Таблиця 6.

X Y	-40	-30	-20	-10
	0,25	0,08	0,017	0,012	0,359
	0,05	0,06	0,04	0,014	0,164
	0,02	0,1	0,013	0,016	0,149
	0,08	0,06	0,03	0,158	0,328
	0,4	0,3	0,1	0,2

Розв’язування. Побудуємо безумовні закони розподілу Х і Y: (таблиці 7 і 8).

Таблиця 7	Таблиця 8
Х -40 -30 -20 -10 Р 0,4 0,3 0,1 0,2	Y         р 0,359 0,164 0,149 0,328

Визначимо та . Маємо:

Оскільки , обчислимо спочатку та за формулами

Маємо:

Отже,

Щоб знайти кореляційний момент , обчислимо за формулою:

Згідно з даними таблиці 6, одержуємо:

Таким чином,

Коефіцієнт кореляції ρ обчислюємо за формулою:

Маємо:

Таким чином, Х та Y корельовані.

Зауважимо, що у тому випадку, коли система випадкових величин (Х, Y) задана щільністю розподілу ймовірностей в області , математичні сподівання М(Х) і М(Y) визначають за формулами:

дисперсії та - за допомогою рівностей

Кореляційний момент в інтегральному поданні можна знаходити за формулою

3. Якщо кожному можливому значенню випадкової величини Х відповідає одне можливе значення випадкової величини Y, то Y називається функцією випадкового аргументу Х: Y = φ(X).

Припустимо, що Х – дискретна випадкова величина, причому різним можливим значенням Х відповідають різні можливі значення Y. Тоді ймовірності відповідних значень Х і Y рівні між собою.

ПРИКЛАД. Задано розподіл дискретної випадкової величини Х:

	0,1	0,6	0,3

Знайти розподіл функції Y=X².

Розв’язування. Розподіл Y має вигляд:

	0,1	0,6	0,3

Якщо Х – дискретна випадкова величина, причому різним можливим значенням Х відповідають значення Y, серед яких є рівні між собою, то потрібно додавати ймовірності тих значень Y, які повторюються.

ПРИКЛАД. Знайти розподіл функції Y=X², якщо розподіл Х має такий вигляд:

	-2
	0,4	0,5	0,1

Розвязування. Оскільки (-2)²=2²=4, ймовірності відповідних появ події Х, що дорівнюють 0,4 і 0,5, додаються: 0,4+0,5=0,9. Таким чином, розподіл Y наступний:

Y
	0,9	0,1

Якщо Х – неперервна випадкова величина, то випадкова величина Y = φ(X) може бути:

- дискретною, якщо - ступінчаста, розривна функція, яка набуває не більше, як зліченну кількість значень;

- неперервною, якщо - неперервна функція без інтервалів сталості;

- випадковою величиною змішаного типу (ані дискретною, ані неперервною).

Можна довести наступне твердження. Якщо Х – неперервна випадкова величина, причому - її диференціальна функція, то у випадку, коли - диференційована строго монотонна функція, обернена до якої – функція , диференціальну функцію випадкової величини Y знаходять за формулою:

(*)

ПРИКЛАД. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку
[0; 2]. Знайти закон розподілу випадкової величини Y = φ(X), якщо: