Щільність розподілу ймовірностей, її властивості та зв’язок з функцією розподілу

Неперервні випадкові величини характеризуються не тільки інтегральною, але і диференціальною функцією (щільністю розподілу).

Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називають функцією , яка є першою похідною від функції розподілу : .

Неважко довести таку теорему.

Теорема. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу , дорівнює визначеному інтервалу від щільності розподілу, взятому в межах від до :

.

Дійсно, оскільки , а ; то .

Знаючи функцію , легко знайти :

.

Це дійсно так, оскільки .

Приклад 2. Знаючи щільність розподілу , знайти функцію розподілу :

Розв’язування. Розглянемо такі випадки:

а) . При цьому ;

б) .Тоді ;

в) . Маємо: .

Відзначимо такі властивості щільності розподілу

1) Щільність розподілу – невід’ємна функція: . Це дійсно так, оскільки – монотонна неспадна функція, а – її похідна. Графік щільності розподілу називають кривою розподілу.

2) Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від до дорівнює одиниці: .

Дійсно, подія, яка полягає в тому, що прийме значення в інтервалі , є достовірною: .

Зауважимо, що сам термін “щільність розподілу” було введено по аналогії з щільністю маси в точці. Дійсно, оскільки , то . Отже, ймовірність того, що прийме значення, яке належить інтервалу , наближено дорівнює добуткові щільності ймовірності в даній точці на довжину інтервалу .