Застосування числових характеристик для прийняття рішень в умовах ризику

Числові характеристики використовуються для прийняття рішень в умовах ризику. Розглянемо приклад з використанням очікуваної вартості.

Приклад №3. Роздрібний торговець купує товар, що швидко псується, за ціною 4 грн. за одиницю, а продає за 6 грн. (Якщо товар протягом дня не продано, то торговець втрачає 4 грн. за кожну одиницю товару).

Статистичними дослідженнями встановлено, що денний попит на товар має 3 різні варіанти:

- 13 одиниць – з ймовірністю 0,2;

- 14 одиниць – з ймовірністю 0,5;

- 15 одиниць – з ймовірністю 0,3.

Потрібно визначити, який щоденний запас товару потрібно мати продавцеві, щоб отримати максимальний прибуток.

Для розв’язування задачі складемо модель ризику. Заповнимо умовну таблицю доходів (грн.) у залежності від попиту.

№ стратегії	Запаси	Кількість проданого товару
13 (йм. 0,2)	14 (йм. 0,5)	15 (йм. 0,3)

При першій стратегії торговець заробляє 26 грн. від продажу 13 одиниць товару з доходом 6 грн. – 4 грн. = 2 грн. за одиницю.

При другій стратегії торговець у середньому зароблятиме

грн.

При третій стратегії очікується прибуток

грн.

Найкраще рішення буде таким, коли запаси щоденно становлять 14 одиниць; при цьому очікується середній дохід 26,8 грн.

Приклад №4. Мале підприємство випускає продукцію партіями, причому ймовірність появи нестандартної партії – 0,1. Брак продукції у придатній партії становить 3%, у непридатній – 8%.

Перед відправкою партії проводиться вибірковий контроль, причому для контролю відбирається два вироби.

Контрактом обумовлено, що відсоток бракованих виробів, які відправляються споживачами і , не повинен перевищувати 5% і 6% відповідно. За один відсоток перевищення встановлених меж передбачається штраф 800 грн. Виробництво партії виробів вищої якості збільшує затрати підприємства на 600 грн. за кожен відсоток.

Якому споживачеві слід відправити партію виробів, щоб ймовірні втрати підприємства були меншими?

Розв’яжемо цю задачу, використовуючи байєсовський підхід.

Спочатку обчислимо можливі ймовірності результатів контролю.

Введемо такі позначення:

– “вибрана придатна партія” ;

– “вибрана непридатна партія” ;

– “обидва вироби стандарті”;

– “один з двох виробів – стандартний”;

– “обидва вироби нестандартні”.

Обчислимо ймовірності подій , , за формулою повної ймовірності. Умовні ймовірності знаходимо з використанням формули Бернуллі. Маємо:

; ;

;

Згідно з формулою повної ймовірності, маємо:

За формулами Байєса

Результати обчислень запишемо в таблицю

	0,90913	0,78063	0,55862
	0,09087	0,21937	0,44138

Є два варіанти прийняття рішень (альтернативи): – відправити партію виробів споживачеві , – споживачеві .

Розглянемо альтернативу .

При відправленні споживачеві придатної партії підприємство несе втрати через те, що на якість продукції затрачені додаткові ресурси:

грн.

Якщо ж споживачеві відправлена непридатна партія, то підприємство сплачує штраф у розмірі

грн.

У випадку альтернативи аналогічно одержуємо: при відправленні споживачеві придатної партії власні витрати становлять

грн,

а при відправленні непридатної партії штраф становитиме

грн,

Представимо ці витрати у вигляді матриці

Керівництво приймає рішення, кому відправити партію продукції, виходячи з мінімуму середніх втрат – математичного сподівання.

Нехай має місце подія .

1) Для альтернативи

,

а для альтернативи

.

Оскільки , то слід вибрати альтернативу , якій відповідають менші витрати.

Припустимо, що має місце подія .

1) Для альтернативи

,

а для альтернативи

.

У цьому випадку також доцільніше вибрати альтернативу .

Нехай виконується подія .

1) Для альтернативи

,

а для альтернативи

.

У цьому випадку приймаються рішення про відправку партії виробів споживачеві .