Функція розподілу та її властивості

Неперервну випадкову величину неможливо задати законом розподілу, аналогічним розглянутому раніше для дискретних випадкових величин. Існує спільний спосіб задання будь-якого типу величин (і дискретних, і неперервних) – за допомогою функції розподілу.

Функцією розподілу (інтегральною функцією) називається функція , яка визначає ймовірність того, що випадкова величина у результаті випробування прийме значення, менше, ніж :

.

З геометричної точки зору – це ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображається на числовій осі точкою, що лежить зліва від точки .

Відзначимо такі властивості функції розподілу.

1) Значення функції розподілу належать відрізку :

.

Це випливає з того, що як ймовірність події може приймати лише значення з множини .

2) Функція неспадна: якщо , то .

Дійсно, згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісних подій, маємо

,

або

.

Оскільки останній доданок невід’ємний, то звідси випливає, що . Властивість 2) доведена.

Аналізуючи викладки, проведені при доведенні даної властивості, одержуємо таке

Правило. Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке знаходиться в інтервалі , дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі:

.

Зауважимо, що формально ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме одне певне значення, дорівнює нулю. Дійсно, нехай . Маємо:

.

Оскільки – неперервна функція, то при . Виходить, що ймовірність того, що , дорівнює нулю. Таким чином,

.

Згідно з класичним означенням ймовірності, виходить, що події неможливі. Але насправді це не так. При користуванні функцією розподілу ймовірностей ставлять питання не про визначення ймовірності події , а про те, що прийме значення, яке належить інтервалу .

3) Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу , то при і при .

Якщо можливі значення неперервної випадкової величини розміщені на всій осі , то мають місце такі граничні рівності:

; .

Приклад. Знайти функцію розподілу для дискретної випадкової величини , заданої законом розподілу

	0,2	0,3	0,5

Розв’язування. Маємо: при . При . При . При .