Математичне сподівання дискретної випадкової величини, його зміст та властивості

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини невідомий, користуються числовими характеристиками випадкової величини, які описують цю величину сумарно - математичним сподіванням, дисперсією, середнім квадратичним відхиленням.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутків всіх її можливих значень на їх ймовірності:

.

Таким чином, математичне сподівання дискретної випадкової величини – величина стала.

Якщо, наприклад, – число появ події в одному випробуванні, то закон розподілу має вигляд

При цьому .

Термін “математичне сподівання” пов’язаний з азартними іграми. Якщо гравець раз вигравав суму , раз – раз – , то середня величина виграшу в одній з партій () визначається так:

,

де – відносна частота значення . При . Таким чином,

.

Отже, математичне сподівання наближено дорівнює (тим точніше, чим більше ) середньому арифметичному значень випадкової величини. З точки зору азартного гравця математичне сподівання виграшу – це середнє значення очікуваного виграшу.

Користуючись означенням математичного сподівання, можна довести його основні властивості.

1) Математичне сподівання сталої величини дорівнює самій сталій: .

2) Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання: .

3) Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.

.

Аналогічна властивість має місце щодо добутку кількох взаємно незалежних випадкових величин.

4) Математичне сподівання суми двох випадкових величин (як незалежних, так і залежних) дорівнює сумі математичних сподівань доданків: .

Аналогічна властивість має місце для суми кількох випадкових величин.

Приклад №5. Нехай проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А постійна і дорівнює . Визначимо середнє число появ події А у цих випробуваннях.

Нехай – число появ події А в випробуваннях; – число появ події А в 1-му випробуванні; – в другому,..., – в -ому випробуванні. Загальне число появ події А визначається рівністю

.

Отже, .

Таким чином, математичне сподівання числа появ події А в незалежних випробуваннях дорівнює добуткові числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні: .

Приклад №6. Двоє робітників різної кваліфікації працюють на однакових машинах. Числа та бракованих виробів за деякий інтервал часу у кожного робітника є незалежними випадковими величинами з такими законами розподілу:

Скласти закон розподілу для загального числа бракованих виробів та середнього їх числа , а також визначити відповідні математичні сподівання.

Щоб розв’язати сформульовану задачу, складемо закон розподілу для загальної кількості бракованих виробів:

Закон розподілу середнього числа бракованих виробів:

Математичні сподівання і можна знайти, користуючись означенням математичного сподівання.

Ми розв’яжемо цю задачу, користуючись властивостями математичного сподівання:

.

Маємо:

;

.

Отже,

;

.