Задание 6. Решение задач на нахождение неопределенных интегралов-1 ч

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом непосредственного интегрирования и методом подстановки

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 6.1. Выучите определение первообразной функции, неопределенного интеграла и его свойства. Подготовьте таблицу неопределённых интегралов.

Выучите алгоритмы раскрытия неопределенностей вида и .

?6.2. Найдите интегралы методом непосредственного интегрирования:

а) ; б) ; в) ;

г) ; е) .

Методические указания по выполнению работы:

Напоминаем, что интегрировать, значит, находить первоначальной образ функции F(x) по известной производной f(x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b), если для всех x из этого промежутка верно: F'(x) = f(x).

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных для функции f(x) и обозначается символом , т.е. = F(x) + C.

Свойства неопределенного интеграла:

1. k- const, k 0;

2. .

Первый метод – метод непосредственного интегрирования.

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Основные формулы интегрирования:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. , а – const 12. 13. 14. , а – const 15. 16. 17.

Пример 1. Найдите .

Решение.

Применим свойство 2: = .

Применим свойство 1: и воспользуемся табличными интегралами. Получим, что = = .

Ответ: = .

Пример 2. Найдите .

Решение. Применим свойства степени: а^-п = ; .

Тогда = .

Применим свойства интеграла: .

Ответ: = .

Пример 3. Найдите .

Решение. применяем свойства и табличные интегралы:

= = .

Ответ: = .

& 6.3. Разберите алгоритм нахождения неопределённого интеграла методом подстановки.

? 6.4. Найдите интегралы методом замены переменной (подстановки):

а) ; б) ; в) .

Методические указания по выполнению работы:

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

· Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

• Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
• Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
• Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
• Производят замену под интегралом.
• Находят полученный интеграл.
• В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.

Пример 1. Найдите .

Решение.

Ответ: =

Пример 2. Найдите .

Решение.

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010 – Глава 6, § 1, стр. 76-80.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 6, § 31, стр. 188-198.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §2, стр. 182 – 192.