Формулы дифференцирования сложных функций

(un)' = п∙un-1·u' ·u' ·u' (sin u)' = cos u·u' (cos u)' = -sin u·u' (tg u)' = ·u' (ctg u)' = - ·u' (eu)' = eu·u' (au)' = au lna·u'

(ln u)' = ·u' (logau)' = ·u' (arcsin u)' = ·u' (arccos u)' =- ·u' (arctg u)' = ·u' (arcctg u)' =- ·u'

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1. Найдите производную функции .

Решение. Полагаем и применяя формулы, найдем:

.

Ответ: .

Пример 2. Найдите производную функции .

Решение. Полагая и используя таблицу производных сложных функций, найдем:

= .

Ответ: .

Пример 3. Найдите производную функции в точке .

Решение. Сначала продифференцируем данную функцию. Полагая и придем к иррациональной функции вида . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: = = = =

= . Итак, .

Подставляем в вместо переменной . Получим: = .

Ответ: .

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010.– Глава 7, § 4, стр. 98-100.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – – Глава 7, § 34, стр. 211-213.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 288 с. – Глава 5, §20, стр. 139-145.