Признак существования экстремума

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Достаточные условия существования экстремума (критерий нахождения точек экстремума): пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки х_о. Тогда:

1. если производная при переходе через точку х_о меняет знак с плюса на минус, то точка х_о является точкой максимума;

2. если производная при переходе через точку х_о меняет знак с минуса на плюс, то точка х_о является точкой минимума.

Из теорем вытекает следующий алгоритм:

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите первую производную функции.

3. Определите критические точки (f'(x_o) =0 или f'(x_o) не существует) и выберите из них внутренние точки области определения.

4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной слева и справа от каждой точки.

5. В соответствии с критериями найдите интервалы монотонности, выпишите точки экстремума функции (если они есть), вычислите значения функции в точках экстремума.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. 1. функция определена на множестве R.

2. Вычислим производную функции: .

3. Определим критические точки (у' =0): =0;

х ₁=-1 или х ₂=1.

4. Отметим на числовой оси критические точки х ₁=1 и х ₂=5. Расставим знаки производной функции на интервалах:

т.min

т.max

5. По признаку возрастания и убывания, функция возрастает при

х (-∞;-1] [1;+∞), убывает при х [-1;1].

По критерию нахождения точек экстремума х =-1 – точка максимума, х =1 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках:

= - максимум функции;

= - минимум функции.

Ответ: возрастает при х (-∞;-1] [1;+∞), убывает при х [-1;1], = ; = .

Пример 2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. 1. Функция определена на множестве R.

2. Найдем производную функции, используя правило производной произведения:

= =

3. Определим критические точки: =0; =0 или 3+ х =0 .

4. На числовой оси отметим критические точки . Исследуем знаки производной слева и справа от критических точек:

+

т.min

5. Согласно критерию возрастания и убывания, функция возрастает при х [-3; ], убывает при х (-∞;-3].

х =-3 – точка минимума, = - минимум функции.

Ответ: возрастает при х [-3; ], убывает при х (-∞;-3]; .

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010. -Глава 8, § 1, стр. 105, § 2, стр. 107.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 38-39, стр. 220-226.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 288 с. – Глава 5, §25, стр. 171-172.