Производные элементарных функций

а) Производная от линейной функции равна ее угловому коэффициенту.

Действительно = = = В частности, отсюда следует, что производная от постоянной равна нулю.

б) Производная от степенной функции выражается формулой

= (5.10)

Формулу (5.10) для натуральных значений можно доказать методом математической индукции. Справедливость ее для = 1 следует из предыдущего пункта а). Предположим, что формула (5.10) верна для некоторого натурального числа и докажем, что тогда она верна и для ( + 1). Действительно, используя арифметическое свойство производных (формула 5.9 в)), получим:

= = = + = ( + 1)

в) Производные тригонометрических функций выражаются формулами:

= = -

= = (5.11)

Докажем первую из этих формул (для второй это делается аналогично, а третья и четвертая формулы следуют из свойства 5.9 г)). По определению производной имеем:

= =

Здесь мы используем первый замечательный предел = 1 и непрерывность функции : =

г) Производная от натурального логарифма выражается формулой:

= (5.12)

По определению предела будем иметь:

= = ln = ln

Обозначая ,

= ln = ln =

Так как = , то =

д) Производная от показательной функции выражается формулой:

= (5.14)