Определение 4.3

Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в произвольной точке этой области.

Теорема 4.1

Все элементарные функции непрерывны в области определения.

Приведем некоторые свойства непрерывных функций.

Теорема 4.2

Пусть функция непрерывна в точке и , тогда существует окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак.

Из определения предела следует, что для любого существует, что для точки , в которой выполняется неравенство

(4.2)

Пусть для определенности > 0. В силу произвольности это число можно взять таким, что > 0 тогда из неравенство (4.2) и следует теорема 4.2.

Теорема 4.3

Пусть функция непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда обязательно найдется точка из данного интервала, в которой функция обращается в нуль, то есть

(4.3)

Доказательство проведем конструктивно.

Разделим отрезок [a,b] пополам.

Можем сразу попасть с точку . Пусть будет не так. Тогда выберем тот из двух образовавшихся сегментов тот, на концах которого функция принимает значение разных обозначим его [ , ]. Вновь проделаем предыдущую процедуру. Получим последовательность отрезков [ , ], [ , ], …………..[ , ], обладающую следующими свойствами

,

,

Длина отрезков равна

,

так как последовательности концов образуют монотонные и ограниченные последовательности,

то (4.4)

Пусть для определенности и

то из теоремы 4.2 следует 0 или 0, откуда

= 0

Этот алгоритм можно запрограммировать для нахождения корня уравнения

= 0 (4.5)