Определение 5.2

Говорят, что функция = имеет в точке максимум (минимум), если для всех значений из некоторой окрестности () () точки выполняется неравенство

Теорема 5.2

Пусть функция = определена на интервале (а, b) и в точке имеет производную. Тогда если > 0 ( < 0), то функция возрастает (убывает) в некоторой окрестности () точки

Рассмотрим случай, когда > 0 (случай < 0 рассматривается аналогично).

Возьмем число так, чтобы / 2. Тогда согласно определению производной найдется такое , что как только | | < , то | | < . Как мы знаем, последнее неравенство можно представить в виде

- < - < (5.3)

- < < + (5.4)

Из двух неравенств (5.4) мы рассмотрим подробно первое неравенство. Имея в виду, что < / 2 получим неравенство:

> > 0 (5.5)

которое выполняется для всех , если | < . Если при этом () (то есть > 0), то ; если же () (то есть этом < 0), то . А это и означает, что в окрестности () точки функция = возрастает, то есть > , если .

Следствие. Если функция = имеет в точке экстремум (то есть максимум или минимум) и в этой точке существует производная, то она равна нулю, то есть = 0.

Действительно, если предположить, что , по теореме 5.2 функция = будет в окрестности точки либо возрастать, либо убывать, что противоречит определению 5.2.

Теорема 5.3

(Производная от обратной функции.) Если функция = имеет в точке производную , то обратная функция имеет в точке = производную причем

= (5.6)

Дадим аргументу приращение в точке , тогда функция = получит приращение (так как ). Тогда можно записать

(5.7)

Переходя в равенстве (5.7) к пределу при (при этом также и по непрерывности функции = получим формулу (5.6)

Теорема 5.4

(Производная от сложной функции). Если функция имеет производную в точке , а функция = имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , при чем

= * (5.8)

Действительно, задав приращение аргументу , мы получим приращение = - , но приращению будет соответствовать приращение = = .

Тогда = = = *

Теорема 5.5

(Арифметические свойства производных). Пусть функции и имеют производные на интервале (а,b), тогда функции +

* и (в последнем случае на интервале (а,b)) тоже имеют производные, причем справедливы следующие отношения:

1) = +

2) =

3) =

4) =

Докажем соотношение 3). По определению производной получаем:

= = = + =