Определение 3.1

Число называется пределом функции при стремящемся к , если какую бы последовательность { }, сходящуюся к мы ни взяли, соответствующая последовательность функций стремится к .

Итак, если , то

(3.1)

Если мы возьмем две последовательности, сходящиеся к а соответствующие последовательности функций сходятся к разным пределам , то предела у функции в этой точке не существует.

Покажем это на примерах.

Пример 3.1

не существует

Возьмем последовательности = 5 +

= = при

= 5 - , = = при

Пример 3.2

Рассмотрим предел

Вновь возьмем две последовательности

= =

= =

то есть на разных последовательностях стремящихся к нулю, предел последовательности функций будет разным.

Следовательно,
не существует.

Так как мы сформулировали определение предела функции в точке на «на языке последовательности», то арифметические свойства предела числовой последовательности будут справедливы и для предела функции в точке.

Пусть ,

Тогда:

1)

2) если

3) если

Замечательные пределы

= (3.2)

Доказательство проведем для > 0. Для < 0 доказательство аналогичное путем замены – =

Итак, любое положительное число можно заключить между двумя натуральными числами

Запишем очевидную цепочку неравенств

(3.2)

Преобразуем эти неравенства так, чтобы мы могли воспользоваться пределом (2.10)

Применяя (2.7), получим

=

Этот предел можно записать в следующих формах

= (3.3)

= замена

Этот предел можно применить для вычисления следующих пределов.

Покажем, что:

= 1 (3.4)

= = =

(по свойству логарифма степени)

Вычислим

, сделаем замену

,

,

= = 1 (с учетом 3.4)

Рассмотрим применение формулы

=

Пусть банк начисляет проценты на вклады каждый день исходя из заданной ставки годового процента . Вклад по будням будет расти следующим образом

, …….

,

Поэтому банк должен будет выплатить через год

Так, если = 0,5 то

При этом оказывается,что это превосходит сумму , которую банк обязуется выплатить клиенту через год, исходя из ставки годового процента. Значит, при непрерывном исчислении процентов надо исходить из заниженной ставки q годового процента, так чтобы .Так при = 0,5 0, 375