![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Число называется пределом функции при
стремящемся к
, если какую бы последовательность {
}, сходящуюся к
мы ни взяли, соответствующая последовательность функций стремится к
.
Итак, если , то
(3.1)
Если мы возьмем две последовательности, сходящиеся к а соответствующие последовательности функций сходятся к разным пределам
, то предела у функции в этой точке не существует.
Покажем это на примерах.
Пример 3.1
не существует
Возьмем последовательности = 5 +
=
=
при
= 5 -
,
=
=
при
Пример 3.2
Рассмотрим предел
Вновь возьмем две последовательности
=
=
=
=
то есть на разных последовательностях стремящихся к нулю, предел последовательности функций будет разным.
Следовательно,
не существует.
Так как мы сформулировали определение предела функции в точке на «на языке последовательности», то арифметические свойства предела числовой последовательности будут справедливы и для предела функции в точке.
Пусть ,
Тогда:
1)
2) если
3) если
Замечательные пределы
=
(3.2)
Доказательство проведем для > 0. Для
< 0 доказательство аналогичное путем замены –
=
Итак, любое положительное число можно заключить между двумя натуральными числами
Запишем очевидную цепочку неравенств
(3.2)
Преобразуем эти неравенства так, чтобы мы могли воспользоваться пределом (2.10)
Применяя (2.7), получим
=
Этот предел можно записать в следующих формах
=
(3.3)
=
замена
Этот предел можно применить для вычисления следующих пределов.
Покажем, что:
= 1 (3.4)
=
=
=
(по свойству логарифма степени)
Вычислим
, сделаем замену
,
,
=
= 1 (с учетом 3.4)
Рассмотрим применение формулы
=
Пусть банк начисляет проценты на вклады каждый день исходя из заданной ставки годового процента . Вклад
по будням будет расти следующим образом
,
…….
,
Поэтому банк должен будет выплатить через год
Так, если = 0,5 то
При этом оказывается,что это превосходит сумму , которую банк обязуется выплатить клиенту через год, исходя из ставки
годового процента. Значит, при непрерывном исчислении процентов надо исходить из заниженной ставки q годового процента, так чтобы
.Так при
= 0,5
0, 375
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 236 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!