![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Последовательность { } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа
найдется номер, зависящий от
, начиная с которого будет выполняться неравенство |
|
E
=
(2.6)
Примеры бесконечно больших по с ледовательностей
=
,
=
n,
=
-
Теорема (арифметические свойства предела)
Если ,
, то:
1)
2)
3) , если
Докажем свойство 1
Имеем
| +
=
,
Эта теорема применяется для вычисления пределов различных последовательностей
Пример
=
=
(использовали формулы для суммы геометрической прогрессии)
Однако не всегда можно применить теорему, так как могут возникнуть следующие типы неопределенностей:
, 0 *
,
,
,
,
Рассмотрим способы раскрытия указанных неопределенностей
Примеры
1) =
=
=
Для раскрытия таких неопределенностей надо числитель и знаменатель разделить на старшую степень знаменателя.
2)
= - 1
Поясним действия. Имеем сначала неопределенность типа . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение
, далее получаем неопределенность
, которую раскрываем по правилу первого примера.
3) = 0
Воспользуемся следующим свойством сходящихся последовательностей.
Если =
=
и
, то
=
(2.7)
0 =
……
(уменьшаем знаменатель у каждой дроби, начиная с четвертого сомножителя)
0 (
= 0
из свойства (2.7.) получим = 0
4) = 0
Для вычисления этого предела приведем следующие неравенство
, если
(2.8)
0
= 0
= 0
Приведем порядок роста некоторых последовательностей
(2.9)
5) Найдем предел последовательности
=
,
Для этого воспользуемся следующей теоремой:
Монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Покажем ограниченность этой последовательности
= 1+
+
+ …….+
= 2+
+
+ ……+
+
+ ……+
+
+
+ …….+
+
= 3,
(2.10)
В оценке мы воспользуемся неравенством (2.9)
для достаточно больших
Покажем, что монотонно возрастает
=
= 1 +
+
+ ………+
= 2 +
+
+………..+
= 2 +
Отсюда
,
(2.10)
тогда
=
(2.11)
Пример
=
=
=
Преобразованием свели вычисление предела к пределу (2.11)
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 229 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!