Определение 2.5

Последовательность { } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа найдется номер, зависящий от , начиная с которого будет выполняться неравенство | | E

= (2.6)

Примеры бесконечно больших по с ледовательностей

= , = n, = -

Теорема (арифметические свойства предела)

Если , , то:

1)

2)

3) , если

Докажем свойство 1

Имеем

| + =

,

Эта теорема применяется для вычисления пределов различных последовательностей

Пример

= =

(использовали формулы для суммы геометрической прогрессии)

Однако не всегда можно применить теорему, так как могут возникнуть следующие типы неопределенностей:

, 0 * , , , ,

Рассмотрим способы раскрытия указанных неопределенностей

Примеры

1) = = =

Для раскрытия таких неопределенностей надо числитель и знаменатель разделить на старшую степень знаменателя.

2)

= - 1

Поясним действия. Имеем сначала неопределенность типа . Для ее устранения умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю выражение , далее получаем неопределенность , которую раскрываем по правилу первого примера.

3) = 0

Воспользуемся следующим свойством сходящихся последовательностей.

Если = =

и , то = (2.7)

0 = ……

(уменьшаем знаменатель у каждой дроби, начиная с четвертого сомножителя)

0 (

= 0

из свойства (2.7.) получим = 0

4) = 0

Для вычисления этого предела приведем следующие неравенство

, если (2.8)

0

= 0

= 0

Приведем порядок роста некоторых последовательностей

(2.9)

5) Найдем предел последовательности

= ,

Для этого воспользуемся следующей теоремой:

Монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Покажем ограниченность этой последовательности

= 1+ + + …….+ = 2+ + + ……+ + + ……+ + + + …….+ + = 3, (2.10)

В оценке мы воспользуемся неравенством (2.9)

для достаточно больших

Покажем, что монотонно возрастает

= = 1 + + + ………+ = 2 + + +………..+ = 2 +

Отсюда

, (2.10)

тогда

= (2.11)

Пример

= = =

Преобразованием свели вычисление предела к пределу (2.11)