Определение 2.3

Число называется пределом числовой последовательности { }, если для любого положительного числа , найдется такой номер, зависящий от , начиная с которого будет выполняется неравенство | -а| <

Это определение записывают так:

(2.3)

С геометрической точки зрения вне окрестности числа будет находиться конечное число членов последовательности, которое зависит от заданного .

Определение предела корректно. А именно, если последовательность сходится, то предел единственный. Докажем, методом от противного.

Пусть ,

рассмотрим =

Итак, где – любое положительное число. Тогда .

Важно научиться работать с определением предела числовой последовательности, чтобы постичь смысл этого определения.

По существу надо при заданном > 0 показать, что номер, начиная с которого будет выполняться неравенство а - < < а + существует.

Поэтому надо от неравенства переходить к более простому, которое легко решается.

Рассмотрим некоторые примеры.

Примеры

= 0 Докажем этот факт.

Оценим | |

Так как ,

,

то мы числитель увеличили, а знаменатель уменьшили.

Следовательно, N = [ ] +1. Здесь [a] – целая часть числа а.

Так [5,93] = 5, [-4,2] = - 4

1) =

, N = [ ] +1

Если смотреть на число , как на заданную точность, то из определения предела последовательности следует, что начиная с некоторого номера все члены последовательности равны в пределах этой точности.

Также в примере 1, если = 0,1, то N = 21, мы можем в своих рассуждениях считать все члены последовательности { } считать равными нулю, начиная с этого номера.

Если = 0,01, то N = 201. В этом случае с этого номера все члены последовательности в пределах этой точности равны 1.