Практическое занятие 3.10. Умножение и деление целых неотрицательных чисел в аксиоматической теории

Вопросы и задания для подготовки к занятию:

1. Определение умножения, «неполного» деления и деления целых неотрицательных чисел.

2. Свойства операций умножения и деления.

3. Докажите, что умножение на множестве целых неотрицательных чисел сократимая операция.

4. Вычислите, используя аксиоматическое определение умножения, определение умножения как кратного сложения, определение умножения как численности декартова произведения множеств:

a. 5∙2

b. 1∙3

Задания для самостоятельной работы

1. Докажите монотонность умножения на множестве целых неотрицательных чисел.

2. Докажите левый дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

3. Дано множество А={└, ┘, ├, ┤, ┬, ┴, ┼, ═, ║, ╒, ╓, ╔, ╕, ╖, ╗, ╣, ╥, ╧, ╩, ╫…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами числами. Используя определения умножения, «неполного» деления и деления нацело найдите значения выражений:

a. └ ∙ ┤

b. ║: ├

c. ┬: ╖

4. Дано множество А={◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Закончите равенства, применив свойства умножения и деления (круглые скобки имеют свое обычное значение, то есть используются для указания порядка выполнения действий):

d. ♂ ∙◙ =

e. (☼ + ♦): ☻ =

f. ♦∙ (♀ + ☺) =

5. При составлении таблиц умножения числа 2 и на 2 в начальной школе обращают внимание учеников на то, что каждое следующее произведение на 2 больше предыдущего. Какие теоретико-математические положения при этом используются?

6. Какие теоретические положения лежит в основе вычислений:

8∙9=8∙10-8=80-8=72

450∙9=450∙10-450=4500-450=4050

Составьте аналогичные равенства. Опишите быстрый способ умножения на 9.

7. Какие теоретические положения косвенно используют младшие школьники при выполнении заданий (упражнения взяты из учебника математики Н.Б. Истоминой)

8. Какие практические действия предлагается выполнять младшим школьникам в ходе изучения деления при реализации теоретико-множественного подхода. Какие предметные действия Вы бы предложили выполнить ученикам при знакомстве с делением, если стояла бы задача реализовать аксиоматический подход к делению. Вспомните о «неполном» делении целых неотрицательных чисел.

9. Придумайте модель множества целых неотрицательных чисел удовлетворяющую аксиомам Пеано. Введите свои обозначения. С помощью своих символов запишите

g. свойство деления частного на число;

h. свойство деления числа на частное;

i. монотонность деления;

j. свойство деления произведения на число.

10. Некоторое число при делении на 15 дает остаток 3. Какой остаток при делении на 5 дает то же число? Почему?

11. Число а при делении на 15 дает остаток 0. Число с при делении на 15 дает остаток 7. Какой остаток получится при делении на 15 чисел а+с, а-с, а∙с?

12. Даны два числа 15438987 и 321234. Найдите такое наибольшее число п, что п ∙321234<15438987.