Практическое занятие 3.8. Определение целого неотрицательного числа и отношения «меньше» в аксиоматической теории

Вопросы и задания для подготовки к занятию:

1. Аксиомы Пеано.

2. Определение отношения «меньше» и отношения «больше».

3. Определение целого неотрицательного числа, непосредственно предшествующего данному.

4. Покажите, что множество натуральных чисел является моделью системы аксиом Пеано.

1. Удовлетворяет ли множество {4, 5, 6, 7, 8,…} аксиомам Пеано? Какой элемент является начальным?

2. На рисунке каждый элемент соединен стрелкой со следующим за ним элементом. Удовлетворяет ли множество аксиомам Пеано? Какое условие нарушено?

3. Докажите, что из аксиом Пеано следует единственность нуля в множестве целых неотрицательных чисел.

4. Сколько штрихов надо поставить, чтобы равенства были верными: 1΄΄ =5 456΄΄΄΄=500

5. Дано множество А={└, ┘, ├, ┤, ┬, ┴, ┼, ═, ║, ╒, ╓, ╔, ╕, ╖, ╗, ╣, ╥, ╧, ╩, ╫…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Запишите непосредственно следующие элементы за ├, ╒, ╩. Запишите элементы, за которыми следуют └, ┘, ═. Запишите элементы непосредственно предшествующие ╖, ╗,╥.

6. Дано множество А={◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Сравните следующие натуральные числа ☺ и ☻ ☼ и ♠ ♦ и ♀

7. Дано множество А={[, \, ], ^, c, j, l, y, p, Ä, Ç, È, Ê, Ï, Ô, Ü, Û, å,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Сколько штрихов надо поставить, чтобы равенства были верными: c΄΄ = Ü [ = p È = y

8. Ниже приведен фрагмент текста из учебника по Методике обучения математике в начальной школе А.В. Белошистой. На каких положения аксиоматической теории целых неотрицательных чисел основываются сформулированные автором положения методики обучения математики. «Место числа в ряду определено способом его получения: каждое следующее число становится в ряду справа от предыдущего. Для понимания такого порядка расположения ребенок должен предварительно освоиться с процессом перевода пространственного расположения объектов, подчиненных отношению «следовать за», в плоскость, где отношение «следовать за» подразумевает «ближайшее справа», а «следовать перед» (предшествовать) — ближайшее слева. Число предыдущее — стоит в ряду чисел левее данного. При счете оно называется непосредственно перед данным, количественно содержит на одну единицу меньше данного. Число последующее (следующее) — стоит в ряду чисел правее данного. При счете оно называется непосредственно после данного, количественно содержит на одну единицу больше данного. Так, число пять является предыдущим к числу шесть; число семь является последующим для числа шесть. В первом классе числа пять и семь по отношению к числу шесть часто называют соседями. Так, соседями числа восемь являются числа семь и девять».

9. В методике обучения математике указывается, что сравнение чисел можно производить различными способами: с опорой на порядок называния чисел при счете; с опорой на процесс присчитывания (3+1=4, значит 3 меньше, чем 4); с опорой на количественные модели сравниваемых чисел (см. рис.). В каком случае реализуется теоретико-множественный подход, в каком аксиоматический? Ответ обоснуйте.

10. Приведите примеры заданий уз учебников по математики для начальной школы разных авторов, в которых реализуется порядковый подход к целым неотрицательным числам.