Практическое занятие 3.9. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматической теории

Вопросы и задания для подготовки к занятию:

1. Определение сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в аксиоматической теории.

2. Перечислите свойства сложения вычитания.

3. Докажите коммутативный закон сложения целых неотрицательных чисел.

4. Докажите теорему об отсчитывании по единице.

5. Найдите разными способами значение выражения, укажите рациональный способ, приведите обоснование:

a. (456+125)-256

b. (456+125)-100

c. (45∙36):9

d. 56-(37-11)

e. 85-(25-15)

Задания для самостоятельной работы

1. Докажите, что для любого целого неотрицательного числа а верны равенства:

a. а +1=1+ а

b. а +0=0+ а

c. а + с = е + с Þ а = е (сократимость сложения)

2. Дано множество А={└, ┘, ├, ┤, ┬, ┴, ┼, ═, ║, ╒, ╓, ╔, ╕, ╖, ╗, ╣, ╥, ╧, ╩, ╫…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами числами. Используя определения суммы и разности найдите значения выражений:

d. └ + ┤

e. ║ + ┘

f. ┬ + ╖

g. ╫ - ┤

h. ╥ - └

i. ╒ - ╩

3. Дано множество А={◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Закончите равенства, применив свойства сложения и вычитания (круглые скобки имеют свое обычное значение, то есть используются для указания порядка выполнения действий):

j. ♂ + ◙ =

k. (☼ + ♦) - ☻ =

l. ♦- (♀ + ☺) =

4. В учебниках математики для начальной школы встречаются задания, в которых ученики убеждаются, что если к числу прибавить 1, то получиться следующее за ним число, а если вычесть – предыдущее. Найдите эти задания. На каких теоретических положениях они основываются.

5. Используя аксиомы сложения и вычитания вычислите:

m. 5+0

n. 6+1

o. 8-0

p. 8-1

q. 9-2

r. 5-3

6. Исправьте ошибки в записях если они есть:

s. 99-(25-14)=95-14-25

t. 99-(25-14)=95-25-14

u. 98-2=¢(98-1)=97

v. 4+5=5+4=5+3¢=(5+3) ¢=(5+2¢)¢=(5+2) ¢¢=(5+1) ¢¢=6¢¢=8

w. 456¢+654¢=(456+654)¢

x. 456¢+¢654=(456+654)¢

y. 999999¢-¢1000000=0

7. Ниже приведены два задания из учебника математики для 1 класса (1 часть) Л.Г. Петрсон. Какова теоретическая основа этих заданий какой подход к множеству целых неотрицательных чисел реализуется в каждом из заданий. Сформулируйте соответствующие теоретические положения.

8. Найдите в учебниках математики М.И. Моро задания, при выполнении которых школьники рассматривают целые неотрицательные числа с позиции порядкового подхода. Какой подход порядковый или количественный нашел большее распространение в учебнике? Почему?