Практическое занятие 3.6. Свойства, связывающие арифметические операции и отношение "меньше"

Задания для самостоятельной работы:

1. Доказать транзитивность отношения «меньше».

2. Доказать, что отношение «больше» является отношением строго порядка.

3. Доказать, что отношение «меньше или равно» транзитивно.

4. Докажите что, для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа с справедливо неравенство а+с>а.

5. Докажите, что для целых неотрицательных чисел а и с справедливо неравенство а+с³а.

6. Докажите, что:

a. (а≤b, c<d) Þ a+c<b+d

b. (а≤b, c≤d) Þ a+c≤b+d

c. (а>b, c>d) Þ a+c>b+d

d. (с≤a≤b) Þ a-c≤b-с

e. (a≤b, cÎN₀) Þ ac≤bc

f.

7. Докажите, что любых целых неотрицательных чисел a и b если a+b>10, то a>5 или b>5. Это один из вариантов принципа Дирихле.

8. Приведите пример формулировки принципа Дирихле отличной от приведенной в предыдущем задании. Подготовьте мини сообщение о немецком математике Петере Густаве Дирихле (1805 – 1859) и его заслугах в области математики[4].

9. В начальной школе можно предложить задание: «Какое число надо вставить в окошко 3+5>ٱ+5». Какое отношение имеет данная задача к монотонности сложения? Приведите примеры других заданий из учебников математики для начальной школы, которые демонстрируют младшим школьникам монотонность сложения.

10. Приведите примеры заданий из учебников математики начальной школы, которые демонстрируют младшим школьникам монотонность умножения.