 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Свойства операции сложения
|
|
1. (" а, bÎ N0) а + b = b + а (коммутативность).
2. (" а, b, cÎ N0) (а + b) + c = a + (b +c) = а + b + с (ассоциативность).
3. (" а, b, cÎ N0)(а + b = а + с ® b = с) Ú (а + b = с + b ® а = с) (сократимость).
4. (" а, b, cÎ N)(а + b < а + с ® b < с) Ú (а + b < с + b ® а < с) (монотонность).
5. (" а, bÎ N)а + b ¹ а Ù a + b ¹ b (сумма двух любых натуральных чисел не равна ни одному из слагаемых).
6. (" а, bÎ N)а + b > а Ù a + b > b (сумма двух любых натуральных чисел больше любого из слагаемых)
Пусть а = п(А); b = п(В).
______________________________________________________________________
Определение 7. Разностью чисел а и b называется количество элементов разности множеств А и В при условии В Ì А.
___________________________________________________________________________________________________
a – b = п (А\В), если В Ì А или а – b = п(В'А).
А
______________________________________________________________________
Определение 8. Разностью чисел а и b называют число с, если оно существует, такое, что а = b + с, а – в = с 
а = в + с
___________________________________________________________________________________________________
Эти определения равносильны. Действительно, пусть а = п(А); b = п(В); В Ì А, с = п(В'А). В'А = А\В, если ВÌ А, А = В È В'А, причем ВÇ В'А =Æ, п(А) = п(В È В'А) = п(В) + п(В'А), т.е. а = b + с.
______________________________________________________________________
Определение 9. Операция по нахождению разности целых неотрицательных чисел называется операцией вычитания.
___________________________________________________________________________________________________
Разность чисел а и b существует, когда а ³ b.
Задача 3.
1. Доказать свойство ассоциативности операции сложения.
2. Дать теоретико-множественное истолкование правила вычитания числа из суммы.
Решение. 1. Докажем, что (" а, b, cÎ N)(а + b) + с = a + (b + с).
Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства. Пусть
а = п(А); b = п(В); с = п(С); тогда а + b = п(АÈ В), если АÇ В = Æ, (а + b) + с = п((А È В)È С), если (АÈ В) Ç С = Æ,
b + с = п(В È C), если В Ç С = Æ, а +(b + с) = п(А È (В Ç С)), если А Ç (ВÈ С) = Æ.
Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А, В и С можно изобразить так:
Пользуясь свойством ассоциативности операции объединения множеств, получаем
(" A,B, С) (A È B ) È C = А È (В È С) Þ п((АÈB)È С) = п(АÈ (ВÈ С)) Þ (а +b) + с = а + (b + с)
(равные множества имеют и равное число элементов).
2. Рассмотрим один из способов вычитания, например (а + b)–с =(а – с)+b, если а>с. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С). Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства. Для левой части равенства получим:
а + b = п(А È В), если А Ç B = Æ,
(а + b) – с = п((АÈ В)\С), если С Ì А È В.
Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А и В можно изобразить так:
Множество С может быть подмножеством А или В. Рассмотрим случай, когда С Ì А.
В правой части равенства получим:
а – с = п(А\C, т.к. С Ì А, (а – с) + b = п((А\С) È В), если (А\С) Ç B = Æ.
В этом случае множества изображаются так:
В
В левой части равенства круг для множества С расположен внутри круга для множества А.
Можно доказать, что (А È В) \ С = (А \ С) È В. Так как равные множества имеют равное число элементов, получаем:
п((АÈ В)\С) = п((А \С) È В) => (а + b) – с = (а – с) + b.
Задача 4.
Решить задачу и обосновать выбор действий.
1. Оля собрала грибы: два белых и пять подосиновиков. Сколько грибов собрала Оля?
2. У Тани пять шариков, два из них она отдала Лене. Сколько шариков осталось у Тани?
Решение.
Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.
1. Пусть А – множество белых грибов, которые собрала Оля, по условию задачи п(А) = 2;
В – множество подосиновиков, которые собрала Оля, по условию задачи п(В)=5;
С – множество всех грибов, которые собрала Оля. Число элементов множества С неизвестно, его надо найти, т.е. п(С) –?
C
A B
Множество С являетсяобъединением множеств А и В; С = АÈ В, причем А Ç B = Æ.
n (C) = п(А È В) = п(А) + п(В) = 2 + 5 = 7.
Оля собрала 7 грибов.
Эта задача на уяснение конкретного смысла сложения натуральных чисел.
2. Пусть А – множество шариков, которые были у Тани, по условию задачи п(А) = 5;
В – множество шариков, которые Таня отдала Лене, по условию задачи п(В)=2;
С – множество шариков, которые остались у Тани, численность множества С неизвестна, ее надо найти, т.е. п(С) –?
Выразим множество С через множества А и В.
А
С В
А = ВÈ С, ВÇ С = Æ
С – разность множеств А и В, причем В Ì А. С = А\В, тогда n(C) = п(А \ В) = п(А) – п(В) = 5 – 2 = 3, т.е. n(С) = 3.
У Тани осталось три шарика.
Эта задача на уяснение смысла действия вычитания натуральных чисел.
Задача 5
Решить и обосновать выбор действий.
1. У Кати было 3 шара, а у Тани на 1 шар больше. Сколько шаров было у Тани?
2. В парке 7 берез, а елей на 2 меньше. Сколько елей в парке?
3. На верхней полке 9 книг, а на нижней 5. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?
Решение.
Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.
1. Пусть А – множество шаров у Кати, по условию задачи п(А)=3; В – множество шаров у Тани, число их неизвестно, т.е. п(В) –? У Тани на 1 шар больше, чем у Кати, это значит, что у Тани шаров столько же, сколько у Кати, и еще один. Введем в рассмотрение вспомогательные множества: В1 – множество шаров у Тани, которых было столько же, сколько у Кати, т.е. В1 ~ А и тогда n(B1) = п(А)= 3; В2 – множество шаров у Тани, которых у Кати нет. По условию задачи п(В2) = 1, т.к. у Тани на 1 шар больше.
Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.
А –
В –
В1 В2
В – объединение множеств B1 и В2, причем В1 Ç В2 = Æ, В = В1 и В2, тогда п(В) = п(В1) + п(В2) = 3 + 1 = 4.
У Тани было 4 шара.
Эта задача на смысл отношения «больше на...».
2. Пусть А – множество берез в парке, число их равно 7, т.е. п(А) = 7;
В – множество елей в парке, число их надо найти, т.е. п(В) –?
Елей на три меньше, чем берез, т.е. елей столько же, сколько берез, но без трех. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
B1 – множество елей в парке, которых было бы столько же, сколько берез, т.е. В1 ~ А, и тогда n(B1) = п(А) = 7.
В2 – множество елей, которых в парке нет, т.к. их на 3 меньше, чем берез то п(В2) = 3, причем В2Ì B2.
Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.
А –
В1 –
В В2
В – разность множеств В1 и В2, причем В2 Ì В1, т.е. В = В1\ В2, тогда п(В) = п(В1\В2) = п(В1) – п(В2) = 7 – 3 = 4.
В парке 4 ели.
Эта задача на смысл отношения «меньше на...».
3. Пусть А – множество книг на верхней полке, число их равно 9, т.е. п(А) = 9;
В – множество книг на нижней полке, число их равно 5, т.е. п(В) = 5;
Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
А1 – множество книг на верхней полке, в котором их столько же, сколько на нижней, т.е. A1 ~ B, и тогда п(А1) = п(В)= 5;
А2 – множество книг на верхней полке, которых нет в А1. Число элементов множества А2 надо найти, т.е. п(А2) –?
Изобразим схематически множества и выразим множество А2 через другие множества.
А –
А1 А2
В –
А2 – разность множеств А и А1, причем А1 Ì А;
А2 = А\А1, тогда п(А2) = п(А\А1) = п(А) – п(А1) = 9 – 5 = 4.
На верхней полке на четыре книги больше, чем на нижней.
Задача 6.
Решить и объяснить выбор действий.
1. В парке 9 кленов. Их на три больше, чем лип. Сколько лип в парке?
2. На столе 6 чашек, их на 2 меньше, чем ложек. Сколько ложек на столе?
Решение.
1. Первый способ. Пусть А – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) –? В – множество кленов в парке, число кленов равно 9, т.е. п(В) = 9. Кленов на три больше, чем лип, это значит, что кленов столько же, сколько лип, и еще три. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
B1 – множество кленов, которых столько же сколько было бы лип, тогда В1 ~ А и n (B1) = п(А);
B2 – множество кленов из множества В, которые не вошли в В1, т.е. В2 Ì В, В1 Ç В2 = Æ и В =В1 È В2, причем п(В2) = 3.
Надо найти п(А); п(А) = п(В1). Изобразим множества схематически и выразим множество В1 через другие множества.
А –
В –
В1 В2
В1 – разность множеств В и В2, В1 = В \ В2, причем В2 Ì В, тогда п(В1) = п(В\В2) = п(В) - п(В2) = 9 – 3 = 6, п(В1) = 6, тогда п(А) = 6. В парке 6 лип.
Второй способ. Пусть A – множество лип в парке, число их надо найти, т.е. п(А) –? В – множество кленов в парке, число их равно 9, т.е. п(В) = 9. Так как кленов на три больше, чем лип, то лип на 3 меньше, чем кленов. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
А1 – множество лип, в котором лип было бы столько же, сколько кленов, т.е. А1~В и п(А1) = п(В) = 9;
А2 – множество лип из А1, которые не вошли в А, т.е. п(А2) = 3, А2 Ì А1, А2ÇА = Æ, тогда A1 = А È А2.
Изобразим схематически множества и выразим множество А через другие.
А1 –
А А2
В –
А – разность множеств А1 и А2, А=А1\A2, причем, А2 Ì А1, тогда п(А)= п(А1\А2) = п(А2) –п(А2)= 9 – 3 = 6.
В парке 6 лип.
2. Первый способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) –? Чашек на 2 меньше, чем ложек, это значит чашек столько же, сколько ложек, но без 2. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
А1 – множество чашек, в котором чашек было бы столько же, сколько ложек, тогда А1 ~ В и n(A1) = п(В);
А2 – множество чашек, которые не вошли во множество А, т.е. п(А2) = 2; А2Ì А1, А Ç А2 = Æ, причем A1 =АÈ А2.
Надо найти п(В); п(В) = п(А1). Изобразим множества схематически и выразим множество А1 через другие.
А1 –
А А2
В –
А1 – объединение множеств А и А2, причем А Ç А2 =Æ. А1=АÈ А2, тогда п(А1) = п(АÈ А2) = п(А) + п(А2)= 6 + 2 = 8. т.к. п(В) = п(А1), то восемь ложек на столе.
Второй способ. Пусть А – множество чашек на столе, число чашек 6, т.е. п(А) = 6; В – множество ложек на столе, число ложек надо найти, т.е. п(В) –? Чашек на две меньше, чем ложек, тогда ложек на две больше, чем чашек. Введем в рассмотрение вспомогательные множества:
В1 – множество ложек, в котором ложек столько же, сколько чашек, тогда В1~А и п(В1)= п(А) = 6;
В2 – множество ложек из В, которые не вошли в В1, т.е. п(В2) = 2, причем В1 Ç В2=Æ, В = В1 и В2.
Изобразим схематически множества и выразим множество В через другие.
А –
В –
В1 В2
В – объединение множеств B1 и В2, В = В1 È В2, причем В1 Ç B2 = Æ, тогда п(В) = n(B1È B2) = n(B1) + п(В2) = 6 + 2= 8. На столе 8 ложек.
Задача 7.
Найти значение выражения и объяснить, какиесвойства были приэтом использованы:
53 + 119 + 47 + 31.
Первый способ.
Можно находить значение числового выраженияв порядкевыполнения действий, т.е.
1. 53 + 119=172;
2. 172 + 47 = 219;
3. 219 + 31=250.
Второй способ.
Можно найти значение этого выражения, используя свойства операции сложения.
Контрольные вопросы
1. Дайте теоретико-множественное истолкование суммы двух целых неотрицательных чисел. Объясните, почему сумму чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а не множеств вообще.
2. Запишите свойства операции сложения.
3. Дайте определение разности через дополнение подмножества и через сумму, докажите их равнозначность.
4. Запишите, используя символы, правила:
а) вычитания числа из суммы;
б) вычитания суммы из числа;
в) вычитания суммы из суммы.
Приведите примеры на применение этих правил.
5. Запишите, используя символы, правила:
а) прибавления числа к сумме;
б) прибавления суммы к числу;
в) прибавления суммы к сумме.
Приведите примеры на применение этих правил.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 485 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
