Деление

В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь.

Если а × b = с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

В теоретико-множественной теории операция деления связана с разбиением множества на классы.

Пусть дано множество А и совокупность А₁, А₂,...A_b равномощных его подмножеств – разбиение множества А на классы, символи­чески это можно записать так:

А, А₁~А₂~...~ A_b, где А_i Ì А,i= 1,2,..., b.

Если выполняются условия:

1) "А_i ¹Æ, где 1 = 1,2,...,b;

2) А_iÇA_j = Æ, где i ¹ j и i, j = 1,2,...,b;

3) А_i È А₂È …È_b = А

И n(A) = с, п(А₁) = n(A₂) =... = п(А_b) = а, то п(А) = п(А₁)+п(А₂)+...+п(А_b) = a + a+…+a = a× b

b

Получаем a× b = с.

Рассмотрим две задачи. В первой – по количеству элементов множества А и числу равномощных классов требуется найти число элементов в каждом из классов А_i разбиения множества. Во второй – по количеству элементов множества А и каждого из равномощных классов А_i требуется определить количество классов разбиения.

Задача 14.

Известно: число элементов множества А, п(А) = с, число равномощных классов – b. Найти: число элементов в каждом классе, п(А_i) = а –?

Так как a× b = с, то а = с: b или п(А_i) = п(А): b, где i = 1, 2,..., b.

Итак, частное от деления числа элементов множества А на число равномощных классов обозначает число элементов в каждом из равномощных классов.

Эта задача на деление на равные части.

Задача 15.

Известно: число элементов множества А, п (А) = с, число элементов в каждом из равномощных классов, п (А_i) = а. Найти: число клас­сов – b.

Так как a× b = с, то с: а = b или п(А):п (А_i) = b.

Итак, частное от деления числа элементов множества А на число элементов, в каждом из равномощных классов обозначает число рав­номощных классов.

Эта задача на деление по содержанию.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число а на нату­ральное число b с остатком – это, значит, найти такие целые неотрица­тельные числа q и r, что

а = bq + r, где 0 £ r < b.

Пусть а = п(А) и множество А разбито на множества А₁, А₂,... А_q, D, В так, что множества А₁, А₂,... А_q равночисленны, а множество D содер­жит меньше элементов, чем каждое из множеств А₁, А₂,... А_q. Тогда, если п(А₁) = п(А₂) =...= п(А_q) = b, а п(D) = r, то а = bq+ r, где 0 £ r < b, причем число q(равночисленных множеств) является неполным час­тным при делении а на b, а число r (число элементов в D) – остатком при этом делении.

Задача 16.

Решить и объяснить выбор действий.

У бабушки было 10 морковок. Она связала их в пучки по 5 морко­вок в каждом. Сколько получилось пучков?

Решение:

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество морковок, которые были у бабушки, п(А) = 10. А₁, А₂,...А_b – разбиение множества А на классы. А_i – множество морковок в каждом классе (пучке), А₁ ~ А₂~…~ А_b, п(А_i) = 5. Надо найти число классов b. п(А) = 10 = с; п(А_i) = 5 = а, т.к. а×b = с, то b = с:а или b = п(А): n(А_i) =10:5 = 2.

Получилось 2 класса, т.е. 2 пучка.

Задача 17.

Решить и объяснить выбор действий.

12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого?

Решение.

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество всех карандашей. п(А) = 12. А₁, А₂, А₃ – разбиение множества A на классы. А₁~А₂~А₃, число равномощных классов b = 3.

Найти: число элементов в каждом из равночисленных классов, п(А_i) = а –?, с = п(А) = 12, b = 3, а –?

Т.к. с = а ×b, то а = с: b = 12: 3 = 4 или п(А_i) = п(А): b, п(А_i) =12:3=4.

В каждом классе 4 элемента, каждый ученик получил по 4 каран­даша.

Эта задача на деление на равные части.

Задача 18.

Обоснуйте с теоретико-множественной позиции выбор действия при решении задачи.

13 ложек разложили на столы, по 4 ложки на каждый. На сколько столов положили ложки и сколько ложек осталось?

Решение.

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств. А – множество всех ложек, п(А) = 13 = а, А_i – множество ложек на одном столе.

А₁~А₂~... ~А_q, n(A₁) = п(А₂) =...= п(А_q) = 4 = b, q – число равно­численных множеств (число столов) - надо найти.

D – множество ложек, которые остались, п(D) = r – число ложек, которое надо найти.

А = (А₁È А₂È...È A _q ) È D.

п(А) = (А₁È А₂È...È A _q ) + n(D), (А₁È А₂È...È A _q ) Ç D = Æ.

а = bq+r, т.е. 13 = 4q + r.

Чтобы найти q и r, надо выполнить деление с остатком 13 на 4, 13: 4 = 3 (ост. 1), 13 = 4×3 + 1.

Ложки положили на 3 стола, и одна ложка осталась.

Задача 19.

(это задача на отношение «меньше в...») Решить.

Оля нашла 8 подосиновиков, а белых грибов в 2 раза меньше. Сколько белых грибов нашла Оля?

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств.

А – множество подосиновиков, которые нашла Оля, п(А) = 8. В – множество белых грибов, в котором белых грибов столько же, сколько подосиновиков, В ~А, тогда п(В)= 8.

В 2 раза меньше равносильно разбиению множества В на 2 равно­численных непересекающихся подмножества В₁ и В₂, где В₁ ~ В₂; В₁ ÇB₂ = Æ и B₁ÈB₂ = B.

Решение: п(В) = п(B₁ÈB₂) = п(B₁) + п(B₂) = 2×п(B₁)

8 = 2 × п(В₁), тогда п(В₁) = 8: 2 = 4.

A -

B -

B₁ B₂

Оля нашла 4 белых гриба.

Задача 20.

(это задача на отношение «больше в...» в косвенной форме.)

Решить.

У Коли 6 открыток, это в 3 раза больше, чем у Лены. Сколько от­крыток у Лены?

Решение:

Переведем условие и вопрос задачи на язык множеств.

А – множество открыток у Лены, п(А) = а –?

В – множество открыток у Коли, п(В) = b = 6.

У Коли в 3 раза больше, чем у Лены, тогда В₁ ~B₂ ~В₃ ~ A, где В₁, B₂, В₃, – разбиение множества В на классы.

A –

В –

В₁ В₂ В₃

В = В₁ ÈВ₂ ÈВ₃, где В1Ç В₂ = Æ, 5_; В1Ç В₃ = Æ,В₂ Ç В₃ = Æ, n(B) = 3а, 6 = 3а, а = 6:3, а = 2.

Множество A состоит из двух элементов, у Лены 2 открытки.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение частного и деления в аксиоматической теории. Докажите, что 8:4 = 2.

2. Каков теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел? Рассмотрите задачи: на деление на равные части; на деление по содержанию.

3. Сформулируйте правило деления суммы на число и дайте его теоретико-множественное истолкование. Приведите примеры использования этого правила в начальном курсе математики.

4. Объясните теоретико-множественный смысл деления с остатком. Каким образом рассматривают это действие в начальных классах?

5. Из учебников математики для начальных классов приведите примеры задач, при решении которых раскрывается теоретико-множественный смысл частного.