![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
______________________________________________________________________
Определение 10. Операция нахождения произведения целых неотрицательных чисел называется операцией умножения.
___________________________________________________________________________________________________
Теоретико-множественное определение произведения. Пусть а = п(А), b = п(В).
______________________________________________________________________
Определение 11. Произведением чисел а и b называют число элементов декартова произведения множеств А и В.
___________________________________________________________________________________________________
Символическая запись: а × b= п (А ´ В). Имеет место теорема.
Теорема 2. Произведение двух любых целых неотрицательных чисел всегда существует и определенно однозначно.
Свойства операции умножения
1. (" а, bÎ N0) а × b = b× а (коммутативности);
2. (" а, b,c Î N0) а × (b × c)= (а × b)× c= a × b × c (ассоциативности);
3. (" а, b,c Î N0) а × b = a × cÞ b = c Ú а × b= c× b Þ a = c (сократимости);
4. (" а, b,c Î N) а × b < a × c Þ b < c Ú а × b< c× b Þ a < c (монотонности);
5. Свойства дистрибутивности операции умножения относительно сложения слева и справа:
(" а, b,c Î N) а × (b + c) ab +ac;
(" а, b,c Î N) (а + b) × c = ac +bc;
6. Свойства дистрибутивности операции умножения относительно вычитания слева и справа:
(" а, b,c Î N) а × (b – c)= ab – ac;
(" а, b,c Î N) (а – b) × c = ac – bc;
Задача 8.
Доказать свойства:
а) коммутативность операции умножения;
б) дистрибутивность операции умножения относительно сложения.
Решение.
а) Докажем, что (" а, bÎ N0) а × b = b× а
Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства.
Пусть а = п(А); b = п(В), тогда а× b = п (А´В),
а× b = п (В´А).
Хотя декартово умножение не коммутативно (вообще говоря, А´В¹ В´А), справедливо равенство п(А´В) = п (В ´ А). Чтобы доказать это, поставим в соответствие каждой паре (х, у) из А´В пару (у, х) из В ´ А, и наоборот, тогда между множествами A ´ В и В ´ А будет установлено взаимно однозначное соответствие и множества А´В и В´А будут равночисленны. Символически это записать так:
~
б) Докажем, что (" а, b,c Î N) а × (b + c) ab +ac;
Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С), тогда b + с = п(В È С), если В Ç С=Æ, а×(b + с) = п(А ´(В Ç С)), аb = п (А ´ В); ас = п(А´С), аb + ас = п((А ´В) È (А´ С)), если (А´ В) Ç (А´С) =Æ.
Имеет место свойство дистрибутивности декартова умножения относительно объединения множеств, т.е.
А ´ (BÈ С) = (А´B)È (А´C).
Если множества равны, то и количество элементов их одинаково, т.е.
п(А´(ВÈС)) = п((А ´В)È(А´ С)). Символически это можно записать так:
А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С) => п (А´ (В È C) = п((А´ В) È (А ´ С)) => а(b + с) = аb + ас.
В школе используется определение умножения, основанное на понятии суммы одинаковых слагаемых.
______________________________________________________________________
Определение 12. Если а и b – целые неотрицательные числа, то:
a× b = а + а+…+а при b>1;
b слагаемых
а × 1 = а при b=1
а × 0 = 0 при b = 0.
______________________________________________________________________
Первую строчку определения можно сформулировать так: произведением чисел а и b назовем сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Из данного определения следует, что если множества A1, А2,...,Аb имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А1 ÈА2 È... È Аb содержит а × b элементов.
Таким образом, произведение а × b равно числу элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов, и никакие два из них не пересекаются. Символически это можно записать так:
А1È А2 È... È Аb = А, причем Аi ÇAj = Æ, где i ¹j и i, j =1,2,...,b
п(А1) = п(А2) =... = п(Аb)=a, тогда п(А) = п(А1 È А2 È... È Аb) = п(А1) + п(А2) +... + п(Аb)= а + а+ +... + а = а×b. В начальном курсе математики определение произведения вводится по частям: сначала появляется определение «Сумму одинаковых слагаемых называют произведением», например, 2 + 2 + 2 + 2 = 2× 4, затем «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали», и запись а × 1 = а и, наконец, «Произведение любого числа и нуля считают равным нулю» и запись а × 0 = 0.
Задача 9.
Используя определение произведения, докажите, что 4 × 3 = 12.
Решение.
Возьмем множество А, в котором четыре элемента, и множество В, в котором три элемента. Пусть это будут множества:
А = {а, b, с, d}, п(А) = 4 и B={m, n, k}, п(В) = 3.
Найдем декартово произведение множеств А и В: А´В - {(а, т), {а, п), (а, k), (b, т), (b, n), (b, к), (с, т), (с, n), (с, k ), (d, т), (d, п), {d, к)}. Оно содержит 12 элементов, т.е. п (А´В) = 12. Следовательно, по определению, а = п (А);b = п(В), то а×b= п{А´В) получим 4×3 = 12.
Задача 10.
Решить и объяснить выбор действия.
В 3 банки положили по 8 огурцов. Сколько всего огурцов в этих банках?
Решение.
Пусть А1 – множество огурцов в первой банке, А2 – множество огурцов во второй банке, А3 – множество огурцов в третьей банке, причем п(А1)=п(А2)=п(А3)=8.
А – множество всех огурцов в банках, тогда А =А1 È А1 È А3, причем А1ÇА2 = Æ, А1ÇА3 = Æ, А2ÇА3 = Æ, тогда n(А)= n (A1ÈA1ÈA3) = п (А1) + п (А2) + п (А3) = 8 + 8 + 8 = 8×3 = 24. Или кратко, три раза по восемь – это:
8 + 8 + 8 = 8 × 3 = 24
3 раза
В трех банках 24 огурца.
Эта задача на уяснение смысла действия умножения.
Задача 11.
Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «больше в...» в прямой форме).
Сережа вырезал 2 треугольника, а квадратов в три раза больше, чем треугольников. Сколько квадратов вырезал Сережа?
Решение.
Пусть А – множество треугольников, которые вырезал Сережа, п(А) = 2. В – множество квадратов, которые вырезал Сережа, сколько их – надо найти, п(В) –?
Квадратов в три раза больше, чем треугольников, это значит, квадратов 3 раза по столько, сколько треугольников. Схематически это можно изобразить так:
A B
B1 B2 B3
А~В1~В2~В3 => п(А) = n(B1) = п(В2) = n(B3) = 2.
Множество В – объединение множеств В1, В2 и В3, т.е. В = В1È В2È В3, причем В1ÇВ2=Æ, В1 Ç В3 = Æ, В2 Ç В3 = Æ, тогда n (B) = n (В1 ÈВ2È В3) = п (В1) + п (В2) + п (В3) = 2 + 2 + 2 = 2×3 = 6. Или кратко, квадратов в 3 раза больше, чем треугольников, т.е. квадратов три раза постольку, сколько треугольников, т.е. 3 раза по 2, а это 2 + 2 + 2 = 2×3 = 6.
Сережа вырезал 6 квадратов.
Задача 12.
Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «меньше в...» в косвенной форме).
Для урока труда девочка принесла 6 листов красной бумаги, это в 2 раза меньше, чем зеленой. Сколько листов зеленой бумаги принесла девочка?
Решение.
Красной бумаги 6 листов, это в 2 раза меньше, чем зеленой, тогда зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной. Пришли к задаче, аналогичной предыдущей, приводятся аналогичные рассуждения. Кратко: зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной, т.е. 2 раза по 6, и это можно записать 6 + 6 = 6×2 = 12.
Девочка принесла 12 листов зеленой бумаги.
Задача 13.
Вычислить рационально, объяснив вычисление: 77×31 + 31×23.
Первый способ. Можно найти значение выражения в порядке выполнения действий.
1)77×31=2387; 2)31×23=713; 3)2387 + 713 = 3100.
Второй способ. Можно найти значение выражения, пользуясь свойствами операций. Используя коммутативность умножения, можно поменять местами множители 77 и 31 или 31 и 23. Далее можно воспользоваться дистрибутивностью умножения относительно сложения слева или справа.
77×31 + 31 ×23 31×77 + 31 × 23
31(77 + 23) = 31 ×100 = 3100.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств.
2. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через сумму.
3. Дайте определение умножения, используемое в начальном курсе математики.
4. Запишите свойство коммутативности умножения, дайте его теоретико-множественное истолкование.
5. Запишите свойство ассоциативности умножения. Приведите пример на применение этого свойства.
6. Запишите свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. В каком виде используется это свойство при начальном обучении математике?
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 2615 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!