Умножение целых неотрицательный чисел

______________________________________________________________________

Определение 10. Операция нахождения произведения целых не­отрицательных чисел называется операцией умножения.

___________________________________________________________________________________________________

Теоретико-множественное определение произведения. Пусть а = п(А), b = п(В).

______________________________________________________________________

Определение 11. Произведением чисел а и b называют число эле­ментов декартова произведения множеств А и В.

___________________________________________________________________________________________________

Символическая запись: а × b= п (А ´ В). Имеет место теорема.

Теорема 2. Произведение двух любых целых неотрицательных чи­сел всегда существует и определенно однозначно.

Свойства операции умножения

1. (" а, bÎ N₀) а × b = b× а (коммутативности);

2. (" а, b,c Î N₀) а × (b × c)= (а × b)× c= a × b × c (ассоциативности);

3. (" а, b,c Î N₀) а × b = a × cÞ b = c Ú а × b= c× b Þ a = c (сократимости);

4. (" а, b,c Î N) а × b < a × c Þ b < c Ú а × b< c× b Þ a < c (монотонности);

5. Свойства дистрибутивности операции умножения относительно сложения слева и справа:

(" а, b,c Î N) а × (b + c) ab +ac;

(" а, b,c Î N) (а + b) × c = ac +bc;

6. Свойства дистрибутивности операции умножения относительно вычитания слева и справа:

(" а, b,c Î N) а × (b – c)= ab – ac;

(" а, b,c Î N) (а – b) × c = ac – bc;

Задача 8.

Доказать свойства:

а) коммутативность операции умножения;

б) дистрибутивность операции умножения относительно сложения.

Решение.

а) Докажем, что (" а, bÎ N₀) а × b = b× а

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства.

Пусть а = п(А); b = п(В), тогда а× b = п (А´В),

а× b = п (В´А).

Хотя декартово умножение не коммутативно (вообще говоря, А´В¹ В´А), справедливо равенство п(А´В) = п (В ´ А). Чтобы доказать это, поставим в соответствие каждой паре (х, у) из А´В пару (у, х) из В ´ А, и наоборот, тогда между множествами A ´ В и В ´ А будет установлено взаимно однозначное соответствие и множества А´В и В´А будут равночисленны. Символически это записать так:

~

б) Докажем, что (" а, b,c Î N) а × (b + c) ab +ac;

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С), тогда b + с = п(В È С), если В Ç С=Æ, а×(b + с) = п(А ´(В Ç С)), аb = п (А ´ В); ас = п(А´С), аb + ас = п((А ´В) È (А´ С)), если (А´ В) Ç (А´С) =Æ.

Имеет место свойство дистрибутивности декартова умножения относительно объединения множеств, т.е.

А ´ (BÈ С) = (А´B)È (А´C).

Если множества равны, то и количество элементов их одинаково, т.е.

п(А´(ВÈС)) = п((А ´В)È(А´ С)). Символически это мож­но записать так:

А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С) => п (А´ (В È C) = п((А´ В) È (А ´ С)) => а(b + с) = аb + ас.

В школе используется определение умножения, основанное на понятии суммы одинаковых слагаемых.

______________________________________________________________________

Определение 12. Если а и b – целые неотрицательные числа, то:

a× b = а + а+…+а при b>1;

b слагаемых

а × 1 = а при b=1

а × 0 = 0 при b = 0.

______________________________________________________________________

Первую строчку определения можно сформулировать так: произ­ведением чисел а и b назовем сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Из данного определения следует, что если множества A₁, А₂,...,А_b имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А₁ ÈА₂ È... È А_b содержит а × b эле­ментов.

Таким образом, произведение а × b равно числу элементов в объе­динении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов, и никакие два из них не пересекаются. Символически это можно запи­сать так:

А₁È А2 È... È А_b = А, причем А_i ÇA_j = Æ, где i ¹j и i, j =1,2,...,b

п(А₁) = п(А₂) =... = п(А_b)=a, тогда п(А) = п(А₁ È А₂ È... È А_b) = п(А₁) + п(А₂) +... + п(А_b)= а + а+ +... + а = а×b. В начальном курсе математики определение произведения вво­дится по частям: сначала появляется определение «Сумму одинако­вых слагаемых называют произведением», например, 2 + 2 + 2 + 2 = 2× 4, затем «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали», и запись а × 1 = а и, наконец, «Произведе­ние любого числа и нуля считают равным нулю» и запись а × 0 = 0.

Задача 9.

Используя определение произведения, докажите, что 4 × 3 = 12.

Решение.

Возьмем множество А, в котором четыре элемента, и множество В, в котором три элемента. Пусть это будут множества:

А = {а, b, с, d}, п(А) = 4 и B={m, n, k}, п(В) = 3.

Найдем декартово произведение множеств А и В: А´В - {(а, т), {а, п), (а, k), (b, т), (b, n), (b, к), (с, т), (с, n), (с, k ), (d, т), (d, п), {d, к)}. Оно содержит 12 элементов, т.е. п (А´В) = 12. Следовательно, по определению, а = п (А);b = п(В), то а×b= п{А´В) получим 4×3 = 12.

Задача 10.

Решить и объяснить выбор действия.

В 3 банки положили по 8 огурцов. Сколько всего огурцов в этих банках?

Решение.

Пусть А₁ – множество огурцов в первой банке, А₂ – множество огурцов во второй банке, А₃ – множество огурцов в третьей банке, причем п(А₁)=п(А₂)=п(А₃)=8.

А – множество всех огурцов в банках, тогда А =А₁ È А₁ È А₃, причем А₁ÇА₂ = Æ, А₁ÇА₃ = Æ, А₂ÇА₃ = Æ, тогда n(А)= n (A₁ÈA₁ÈA₃) = п (А₁) + п (А₂) + п (А₃) = 8 + 8 + 8 = 8×3 = 24. Или кратко, три раза по восемь – это:

8 + 8 + 8 = 8 × 3 = 24

3 раза

В трех банках 24 огурца.

Эта задача на уяснение смысла действия умножения.

Задача 11.

Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «боль­ше в...» в прямой форме).

Сережа вырезал 2 треугольника, а квадратов в три раза больше, чем треугольников. Сколько квадратов вырезал Сережа?

Решение.

Пусть А – множество треугольников, которые вырезал Сережа, п(А) = 2. В – множество квадратов, которые вырезал Сережа, сколько их – надо найти, п(В) –?

Квадратов в три раза больше, чем треугольников, это значит, квадратов 3 раза по столько, сколько треугольников. Схематически это можно изобразить так:

A B

B₁ B₂ B₃

А~В₁~В₂~В₃ => п(А) = n(B₁) = п(В₂) = n(B₃) = 2.

Множество В – объединение множеств В₁, В₂ и В₃, т.е. В = В₁È В2È В₃, причем В₁ÇВ₂=Æ, В₁ Ç В₃ = Æ, В₂ Ç В₃ = Æ, тогда n (B) = n (В₁ ÈВ₂È В₃) = п (В₁) + п (В₂) + п (В₃) = 2 + 2 + 2 = 2×3 = 6. Или кратко, квад­ратов в 3 раза больше, чем треугольников, т.е. квадратов три раза постольку, сколько треугольников, т.е. 3 раза по 2, а это 2 + 2 + 2 = 2×3 = 6.

Сережа вырезал 6 квадратов.

Задача 12.

Решить и объяснить выбор действий (на смысл отношения «меньше в...» в косвенной форме).

Для урока труда девочка принесла 6 листов красной бумаги, это в 2 раза меньше, чем зеленой. Сколько листов зеленой бумаги принесла девочка?

Решение.

Красной бумаги 6 листов, это в 2 раза меньше, чем зеленой, тогда зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной. Пришли к задаче, ана­логичной предыдущей, приводятся аналогичные рассуждения. Кратко: зеленой бумаги в 2 раза больше, чем красной, т.е. 2 раза по 6, и это можно записать 6 + 6 = 6×2 = 12.

Девочка принесла 12 листов зеленой бумаги.

Задача 13.

Вычислить рационально, объяснив вычисление: 77×31 + 31×23.

Первый способ. Можно найти значение выражения в порядке вы­полнения действий.

1)77×31=2387; 2)31×23=713; 3)2387 + 713 = 3100.

Второй способ. Можно найти значение выражения, пользуясь свойствами операций. Используя коммутативность умножения, можно поменять местами множители 77 и 31 или 31 и 23. Далее можно воспользоваться дистрибутивностью умножения относительно сложения слева или справа.

77×31 + 31 ×23 31×77 + 31 × 23 31(77 + 23) = 31 ×100 = 3100.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств.

2. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел через сумму.

3. Дайте определение умножения, используемое в начальном курсе математики.

4. Запишите свойство коммутативности умножения, дайте его теоретико-множественное истолкование.

5. Запишите свойство ассоциативности умножения. Приведите пример на применение этого свойства.

6. Запишите свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. В каком виде используется это свойство при начальном обучении математике?