Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел

Из аксиом Пеано, из определения отношений «больше», «меньше» и их свойств следуют свойства множеств а натуральных N и целых неотрицательных N₀ чисел:

1. В множестве N (или N₀) существует наименьший элемент 1 (0) (следует из первой аксиомы Пеано А₁).

2. В множестве N (или N₀) не существует наибольшего элемента (доказывается методом от противного с использованием аксиомы А₂). Этим объясняется бесконечность множеств N и N₀.

3. Ни для одного натурального (или целого неотрицательного) числа а не существует такого натурального числа n, что а < n < а + 1. Это свойство называется свойством дискретности множества натуральных чисел (или N₀), а числа а и а+1 называют соседними.

4. Любое непустое подмножество натуральных чисел (или N₀) содержит наименьшее число.

5. Если М – непустое подмножество множества натуральных чисел (или N₀) и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется неравенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

6. Множество N₀ (или N) – линейно упорядоченные множества, т.е. для их элементов имеют место следующие утверждения:

0 < 1 < 2 < 3 <…< n < n+1 <…

(1 < 2 < 3 <... < n < n + 1 <...).

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте свойства множества натуральных и целых неотрицательных чисел.

2. Проиллюстрируйте свойства 4 и 5 на примерах.