Упражнения. 313. Сформулируйте условие существования разности во множестве натуральных чисел и докажите его

313. Сформулируйте условие существования разности во множестве натуральных чисел и докажите его.

314. Доказать, что при b < а илюбых натуральных с верно равенство (а – b)с – ас – bс.

315. Докажите, что:

а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с);

б) если а > b + с, то а - (b + с) = (а – b) – с.

316. Докажите, что b – а < b.

317.Что является теоретической основой следующих приемов вычислений, изучаемых в начальном курсе математики:

а) 13 –7

13–3–4 13 – 7 = 6;

б) 15 – 8 = (8 + 7) – 8 = 7;

в) 26 – 9 = 26 – 6 – 3 = 17;

г) 57 – 40 = (50 + 7) – 40 = 10 + 7=17;

д) 57 – 4 = (50 + 7) – 4 = 50 + 3 = 53;

е) 42 – 5 = 42 – (2 + 3) = 40 – 3 = 37.

318. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.

а) 8536 × 7 – 8536 × 6;

б) 729 × 11 – 729;

в) 13 × 24 – 8 × 24;

г) 11 × 957 – 957.

319. Пусть а, b, с, d – натуральные числа и а > b, с >d. Доказать истин­ность следующих высказываний:

а) а – b = с – d«а + d = b + с;

б) (а – b) –(с – d)=(а + d) –(b + с);

в) (а – b)(с – d)= (ас + bd) –(ad + bс);

320. Найдите разность, применяя приемы вычисления, используемые в начальной школе. Дать теоретическое обоснование приемам.

1) 13 – 4;

2) 15 – 6;

3) 30 – 8;

4) 40 – 7;

5) 52 – 30;

6) 74 – 20;

7) 40 – 36;

8) 50 – 47;

9) 64 – 3;

10) 79 – 5;

11) 80 – 32;

12) 60 – 24;

13) 65 – 8;

14) 73 – 6;

15) 89 – 85;

16) 77 – 72;

17) 76 – 55;

18) 47 – 35;

19) 72 – 56;

20) 84 – 38.

321. Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения выражений будут равны:

а) (60 + 15) – 13;

б) (60 – 13) +15;

в) (60 – 13) – 15;

г) 60 + (15 – 13);

д) 60 – (15 – 13);

е) (60 +13) – 16;

ж) 60 – (15 + 13);

з) (60 – 15) +13;

и) (60 – 15) – 13;

к) (60 – 13) + 15;

л) (60 –13) –15;

м) 60 – 15 – 13.

322. Докажите, что:

а) если частное натуральных чисел а и bсуществует, то оно единственно;

б) если числа а и b делятся на с и а > b, то (а – b): с = а: с – b: с;

в) если число а делится на число с, то ("bÎN) (а × b): с = (а: с) × b;

г) (b: с)а = (аb): с.

Дайте словесные формулировки этим утверждениям.

323. Можно ли считать, что все данные утверждения истинны. Ответ обосновать.

а) 75: (3× 5) = 75: 3: 5; б) 96: (3 × 8) = 96: 3: 8; в) 910: 130 = 910: 10: 13.

324. Доказать, что деление

а) неассоциативно;

б) некоммутативно.

325. Какие свойства деления являются теоретической основой выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов? Можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковы:

а) (30 + 6): 3;

б) (21 + 15): 3;

в) 36: 2;

г) (11 +25): 2;

д) (20 + 16): 3;

е) 36: 3.

326. Верны ли равенства:

а) 96: 8: 2 = 96: (8: 2);

б) 96: 8: 2 = 96: (8 × 2);

в) 96: 8: 2 = (24: 8) × (4: 2);

г) (60 – 12): 3 = 20 – 4.

327. Найдите значение выражения рациональным способом; свои действия обоснуйте:

а) (9 × 57): 9;

б) (2 × 7 × 9): 18;

в) (35 × 48): (7 × 6);

г) (18 × 35): 14;

д) (195: 13) × 2;

е) 720: 48;

ж) 954: 18;

з) 882: 18;

и) 480: 32;

к) (560 × 32): 16.

328. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным способом частное; выбранный способ обоснуйте:

а)540: 15;

б)378: 7;

в) 385: 55;

г) 428: 85;

д) 240: 15;

е) 455: 65;

ж) 555: 15;

з) 665: 35;

и) 567: 27;

к)541: 19;

329. Укажите условия, при которых следующие равенства истинны:

а) (а + b): с = а: с + b: с;

б) (а – b): с = а: с – b: с;

в) (а₁ × а₂ ×... a_n): b = (а₁: b) × (а₂× а₃×... × а_n) = а₁ × (а₂: b) × (а₃ × а₄ × …× а_n) =...= а₁× а₂×... × а_n-1× (а_n: b).

г) а: (b× с) = (а: b): с; а: (b × с) = (а: с): b;

д) а× (b: с) = (а × b): с; а × (b: с) = (а: с) × b;

е) а: (b: с) = (а: b) × с.