Теорема 12

Деление на нуль невозможно.

Доказательство.

Пусть даны целое неотрицательное число а и b = 0.

Рассмотрим случай, когда а ¹ 0. Предположим, что частное таких чисел существует, т.е. ($ сÎ N_о)а = с × 0, откуда а = 0. Пришли к противоречию с условием, значит, частное чисел а ¹ 0 и b = 0 не существует.

Пусть теперь а = 0. Предположим опять, что частное чисел а = 0 и b = 0 существует, т.е. ($ сÎ N_о) такое, что выполняется равенство 0 = с × 0, истинное при любых значениях с. Таким образом, частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое целое неотрицательное число, т.е. результат деления определяется не единственным образом. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль невозможно.

______________________________________________________________________

Определение 10. Пусть а – целое неотрицательное число, а b – число натуральное. Разделить а на b с остатком – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что а = bq + r, причем 0 £ r < b (q называют неполным частным, r – остатком).

___________________________________________________________________________________________________

Например: а) при делении 26 на 3 получим неполное частное 8 и остаток 2, 26 = 3× 8 + 2; б) при делении 0 на 4, q = 0, r = 0, 0 = 4 × 0 + 0; в) при де­лении 1 на 5 получим неполное частное 0 и остаток 1, 1 = 5× 0 +1.

Если такая пара чисел q и r существует, то единственна ли она для заданных чисел а и b. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 13. Для любого целого неотрицательного числа а и нату­рального b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что а = bq + r, причем 0 £ r < b. Эта пара чисел q и r- единственная для заданных а и b.

Задача 15.

Числа а и b при делении на 7 дают соответственно остатки 2 и 6. Какой остаток получится, если разделить на 7 произведение аb?

Решение.

Число а при делении на 7 дает в остатке 2 и поэтому имеет вид: а = 7q+ 2, q Î N_о. Аналогично b = 7р + 6, р Î N_о. Рассмотрим произведение этих чисел:

аb= (7q + 2)×(7р + 6) = 49рq + 14р + 42q + 12 = 7 × (7рq + 2р + 6q + 1) + 5= 7t+ 5.

t

Итак, ab = 7t + 5, t Î N₀

Таким образом, установлено, что произведение чисел а и b при делении на 7 дает в остатке 5.

Контрольные вопросы

1. Объясните, почему не существует значение выражения 5:0?

2. Дайте понятие деления с остатком. Разделите с остатком: а) 33 на 8; б) 47 на 5; в) 11 на 17.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности пары чисел q и r при делении а на b.

4. Известно, что при делении т на п получили неполное частное q и остаток 15. Известно также, что одно из чисел т, п и q равно 12. Какое?