Деление произведения на число

Теорема 11. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, т.е. (а × b): с = (а: с) × b.

Например (6 × 115): 3 = (6: 3) × 115 = 230. Теорему можно сформулировать в виде правила: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный резуль­тат умножить на второй множитель.

Задача 7.

Доказать дистрибутивность слева умножения относительно вы­читания, т.е.

("а, b,с ÎN) a(b – с) = аb - ас (если b > с).

Доказательство:

Будем использовать определение разности натуральных чисел. Покажем, что если к вычитаемому ас прибавим разность а(b - с), то получим уменьшаемое аb.

, ч.т.д.

Задача 8.

Доказать, что если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство:

Доказывать будем методом от противного. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b: а – b = с₁ и а – b = с₂, причем c₁ ¹ с₂.

Тогда, по определению разности, имеем а = b + с₁ и а = b + c₂ . Отсюда следует, что b + c₁ = b + c₂ (по транзитивности отношения «равно»).

По свойству сократимости операции сложения получим, что с₁ = с₂. Пришли к противоречию с допущением, значит оно не верно, а верно данное утверждение (теорема о единственности разности).

Задача 9.

Пусть а, b, с – натуральные числа.

Доказать, что (а + b) – с = (а - с) + b, если а > с.

Доказательство:

По определению разности, если к вычитаемому с прибавим разность ((а – с) + b), то должны получить уменьшаемое а + b.

, ч.т.д.

Задача 10.

Пусть а, b, с – натуральные числа и а > b + с. Доказать, что а – (b + с) = (а– с) – b.

Доказательство:

По определению разности, если к вычитаемому (b + с) прибавим разность ((а – с) – b), то должны получить уменьшаемое а.

, ч.т.д.

Задача 11.

Пусть а, b, с – натуральные числа.

Доказать, что если а и b делятся на с, то (а + b): с = а: с + b: c

Доказательство:

По определению частного, если делитель с умножим на частное (a:с + b:с), то должны получить делимое (а + b).

, ч.т.д.

Задача 12.

Доказать, что для того, чтобы существовало частное двух нату­ральных чисел а и b, необходимо, чтобы b £ а.

Доказательство:

Надо доказать, что (а: b) - $ => b £ а, где а, bÎ N.

Пусть (а: b) существует, тогда, по определению частного, ($ с Î N) а= b× с. Т.к. с Î N, то ("с Î N) 1 £ с. Умножим обе части неравенства на b, получаем b£ с. Но bс = а, следовательно, b £ а.

Задача 13.

Пусть а, b, с – натуральные числа и число а делится на число b.

Доказать ("с Î N)а: b = ас: bс, т.е. частное не меняется, если де­лимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натураль­ное число.

Доказательство: Пусть ас: bс = х, т.е.,

, ч.т.д.

Например: 375: 15 = (375 × 2): (15 × 2) = 750: 30 = 25.

Задача 14.

Пусть а, b, с – натуральные числа, тогда а: (bс) = (а:b):с, если де­ление выполнимо, то деление на произведение можно осуществить делением а на отдельные множители.

Пусть

Контрольные вопросы

1. Сформулировать и записать в символической форме определение разности натуральных чисел.

2. Доказать, пользуясь определением разности натуральных чисел, что:

а) 7 – 4 = 3; б) 8 – 5 ¹ 2; в) (5 – 9) – не существует в N.

3. Сформулировать теоремы об условии существования и единственности разности натуральных чисел.

4. Как можно вычесть число из суммы? Проиллюстрировать примерами.

5. Как можно вычесть сумму из числа? Проиллюстрировать примерами.

6. Доказать истинность утверждений: (а + b) – а = b; (а + b) – b = а.

7. Сформулировать и записать в символической форме определение частного натуральных чисел.

8. Доказать, пользуясь определением частного натуральных чисел, что

а) 42: 7 = 6; б) 40: 8 ¹ 3; в) (35: 4) – не существует в N.

9. Сформулировать теорему об условии существования частного натуральных чисел. Почему это условие является только необходимым?

10. Сформулировать теорему о единственности частного.

11. Сформулировать правила деления суммы, разности и произведения натуральных чисел на натуральное число. Проиллюстрировать эти правила примерами.