![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 11. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, т.е. (а × b): с = (а: с) × b.
Например (6 × 115): 3 = (6: 3) × 115 = 230. Теорему можно сформулировать в виде правила: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.
Задача 7.
Доказать дистрибутивность слева умножения относительно вычитания, т.е.
("а, b,с ÎN) a(b – с) = аb - ас (если b > с).
Доказательство:
Будем использовать определение разности натуральных чисел. Покажем, что если к вычитаемому ас прибавим разность а(b - с), то получим уменьшаемое аb.
, ч.т.д.
Задача 8.
Доказать, что если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.
Доказательство:
Доказывать будем методом от противного. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b: а – b = с1 и а – b = с2, причем c1 ¹ с2.
Тогда, по определению разности, имеем а = b + с1 и а = b + c2 . Отсюда следует, что b + c1 = b + c2 (по транзитивности отношения «равно»).
По свойству сократимости операции сложения получим, что с1 = с2. Пришли к противоречию с допущением, значит оно не верно, а верно данное утверждение (теорема о единственности разности).
Задача 9.
Пусть а, b, с – натуральные числа.
Доказать, что (а + b) – с = (а - с) + b, если а > с.
Доказательство:
По определению разности, если к вычитаемому с прибавим разность ((а – с) + b), то должны получить уменьшаемое а + b.
, ч.т.д.
Задача 10.
Пусть а, b, с – натуральные числа и а > b + с. Доказать, что а – (b + с) = (а– с) – b.
Доказательство:
По определению разности, если к вычитаемому (b + с) прибавим разность ((а – с) – b), то должны получить уменьшаемое а.
, ч.т.д.
Задача 11.
Пусть а, b, с – натуральные числа.
Доказать, что если а и b делятся на с, то (а + b): с = а: с + b: c
Доказательство:
По определению частного, если делитель с умножим на частное (a:с + b:с), то должны получить делимое (а + b).
, ч.т.д.
Задача 12.
Доказать, что для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b £ а.
Доказательство:
Надо доказать, что (а: b) - $ => b £ а, где а, bÎ N.
Пусть (а: b) существует, тогда, по определению частного, ($ с Î N) а= b× с. Т.к. с Î N, то ("с Î N) 1 £ с. Умножим обе части неравенства на b, получаем b£ с. Но bс = а, следовательно, b £ а.
Задача 13.
Пусть а, b, с – натуральные числа и число а делится на число b.
Доказать ("с Î N)а: b = ас: bс, т.е. частное не меняется, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
Доказательство: Пусть ас: bс = х, т.е.,
, ч.т.д.
Например: 375: 15 = (375 × 2): (15 × 2) = 750: 30 = 25.
Задача 14.
Пусть а, b, с – натуральные числа, тогда а: (bс) = (а:b):с, если деление выполнимо, то деление на произведение можно осуществить делением а на отдельные множители.
Пусть
Контрольные вопросы
1. Сформулировать и записать в символической форме определение разности натуральных чисел.
2. Доказать, пользуясь определением разности натуральных чисел, что:
а) 7 – 4 = 3; б) 8 – 5 ¹ 2; в) (5 – 9) – не существует в N.
3. Сформулировать теоремы об условии существования и единственности разности натуральных чисел.
4. Как можно вычесть число из суммы? Проиллюстрировать примерами.
5. Как можно вычесть сумму из числа? Проиллюстрировать примерами.
6. Доказать истинность утверждений: (а + b) – а = b; (а + b) – b = а.
7. Сформулировать и записать в символической форме определение частного натуральных чисел.
8. Доказать, пользуясь определением частного натуральных чисел, что
а) 42: 7 = 6; б) 40: 8 ¹ 3; в) (35: 4) – не существует в N.
9. Сформулировать теорему об условии существования частного натуральных чисел. Почему это условие является только необходимым?
10. Сформулировать теорему о единственности частного.
11. Сформулировать правила деления суммы, разности и произведения натуральных чисел на натуральное число. Проиллюстрировать эти правила примерами.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1822 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!