Свойства операции умножения

Имеют место следующие теоремы: (записаны в таком порядке, в каком их можно доказать). Для любых а, b, с из N:

1. (a + b) × c = ab + ac

(дистрибутивность справа относительно сложения)

1. а × (b + с) = аb + ас

(дистрибутивность слева относительно сложения)

3. (а×b) ×с = а×(b×с) = а×b×с; (ассоциативность)

4. а×b = b×а; (коммутативность)

5. а=b => ас=bс;

6. ас = bс => а = b;

аb = ас => b = с; (сократимость)

7. а < b => ас<bс;

8. ас<bс => а < b;

9. а>b => ас >bс;

10. ас >bс => а > b

11. ("а,b ÎN)($n ÎN)nb >а.

___________________________________________________________________

Определение 5. Число а меньше числа b(а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

______________________________________________________________________________________________

При этих условиях говорят также, что число b больше а, и пишут: b > а.

Символически это определение можно записать так: а < b Û ($ с ÎN)а + с = b или b > а Û ($с ÎN)а + с = b.

Например:

1) 7 < 9, т.к. существует число с = 2, такое, что 7 + 2 = 9.

2) 5 > 2, т.к. существует число с = 3, такое, что 2 + 3 = 5.

Задача 3.

Доказать свойство ассоциативности операции сложения, т.е. ("а,b,c ÎN)(а + b) + с = а + (b + с).

Решение.

Будем пользоваться аксиомой индукции A₄.

Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения (индукция по с).

Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство (а + b) + с = а + (b + с) верно.

M = {с\сÎ N, (а + b) + с = а + (b + с)}; т.к. с Î N, то М Ì N.

1. Докажем сначала, что 1 Î M, т.е. убедимся в справедливости ра­венства (а + b) + 1 = а + (b + 1). Действительно, по определению сложения, имеем (а + b) + 1 (а + b)' а + b' a + (b + 1), что и требовалось доказать (ч.т.д.) => 1 Î M.

2. Докажем теперь, что если сÎM => с 'Î M. Пусть "с Î M (это предположение индукции – П.И.), т.е. равенство

(a + b) + c = а + (b + с) верно, докажем, что с 'Î M, т.е. равенство (а +b) + с' = а + (b + с') верно. Верность числовых равенств можно доказать одним из следующих приемов:

§ взять левую часть равенства, путем преобразований получить правую часть равенства;

§ взять правую часть равенства, путем преобразования получить левую часть равенства;

§ преобразовывая левую и правую части равенства, получить одинаковые числовые выражения.

Будем преобразовывать левую часть равенства.

(а + b) + с' ((а + b) + с)' (а + (b + с)) ' а + (b + с)' а +(b + с') ч.т.д. => с' Î M.

Итак, мы показали, что

M Ì N Ù (1Î M Ù("с Î M Þ с'Î M)) => М = N, т. е. равенство (а + b) + с = а + (b + с) истинно для любого натурального числа с, а т.к. а и b выбирались произвольно, то оно справедливо для любых натуральных чисел а и b, что и требовалось до­казать.

Задача 4.

Доказать дистрибутивность слева умножения относительно сложения, т.е.

("а,b,сÎ N) а(b + с) = аb + ас.

Доказательство:

Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения (индукция по с).

Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство а(b + с) = аb + ас верно, т.е.

М = {с/сÎN, а(b + с) = аb + ас}, т.к. с Î N, то М Ì N,

I. Докажем, что 1 Î М, т.е. а × (b + 1) = аb + а× 1.

ab',

а × b + а × 1 а× b + а аb',

получили аb' = аb' – истинно, => 1 Î М.

II. Докажем, что с Î М => с' Î М

Пусть "с Î М, т.е. а(b + с) = аb +ас.

Докажем, что с'Î М, т.е. а(b + с') = аb + ас'.

Преобразуем левую часть равенства к правой части этого равенства.

а(b + с') а(b + с)' a(b + с) + а (аb + ас) + а аb+ (ас + а) аb + ас'

ч.т.д., => с'Î М, тогда М Ì NÙ(1 ÎM (с Î М => с' Î М)) => M = N, т.е. равенство а(b + с) = аb+ас истинно для любого натурального числа с, а также для любых натуральных чисел а и b, т.к. они были выбраны произвольно.

Доказательство свойств операций сложения и умножения проводилось на основе аксиомы индукции Пеано (аксиома 4).

Его можно применять для доказательства других утверждений о натуральных числах, опираясь на следующую теорему.

Теорема 5. (Принцип математической индукции).

Если утверждение А(n) с натуральной переменой n истинно – для n = 1, т.е. А(1) – истинно и из того, что оно истинно для n = к, т.е. А(к) – истинно (к – произвольное натуральное число), следует что оно истинно для следующего числа n=к¹, то утверждение А(n) истинно для любого натурального числа n.

(к¹= к+1)

Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей:

1. Доказывают, что А(1) – истинно (n = 1)

2. (П.И.) Предполагают, что утверждение А(к) – истинно (n = k) и, используя это предположенив, доказывают, что А(к¹) – истинно (n = к¹ = к + 1), т.е.

А(к) Þ А(к¹) истинное высказывание.

Если А(1) Ù (А (к) Þ А(к¹)) – истинное высказывание, то делают вывод об истинности утверждения А(n) для "nÎN.

Задача 6. Доказать, что для любого натурального числа n, сумма n первых чисел натурального ряда S (n) = т.е. 1 + 2 + 3 + … + n = - S (n).

Решение.

1. При n = 1 утверждение истинно, т.к. в левой части равенства имеем

S(1)= 1, в правой

2. П.И. (предположение индукции). Пусть при n = к S (к ) – истинно, т.е.

1 + 2 + 3 + … + к = . Докажем, что А(к) Þ А(к+1) – истинно.

Действительно, S (к+1 )= 1 + 2 + … + к + (к + 1) = S (к )+(к + 1). По предположению S (к )= , значит, S (к+1 )= +(к+1)= = Таким образом, А(к) Þ А(к¹) – истинно.

Следовательно, на основании принципа М.И. данное утверждение S (n) – истинно для любого натурального n.

Задача. Докажем методом М.И., что утверждение (6ⁿ – 1) 5 "nÎN.

1. Пусть n = 1; 6¹ – 1 = 5; 5:5 – истинно значит, при n = 1 утверждение истинно.

2. Допустим (П.И.), что при n = к утверждение (6^к – 1) 5 – истинно. Докажем, что оно будет истинным, при n = к + 1 = к¹, т.е. (6^k¢ – 1) 5.

1 способ. Рассмотрим разность (6^к+1–1)–(6^к–1). После преобразований получаем: 6^к+1 – 1 – 6^к + 1 = 6^к × (6 - 1) = 6^к × 5. Произведение (6^к × 5) 5, т.к. 5 5, а (6^к-1) 5 (по предположению). Получаем 6^к+1 – 1 = (6^к – 1) + 6^к × 5, т.к. каждое слагаемое делится на пять, то по теореме о делимости суммы (6^к+1 – 1) 5.

2 способ. Преобразуем выражение 6^к+1 – 1 = 6^к × 6 – 1. Прибавим и вычтем число 6, получим 6^к+1 – 1 = 6^к × 6 – 6 + 6 – 1 = 6(6^к – 1) + 5. В полученном выражении (6^к – 1) 5 по предположению, а т.к. второе слагаемое 5, то (6(6^к – 1) + 5) 5, а это значит (6^к+1 – 1) 5.

На основании доказанного и теоремы индукции утверждение (6ⁿ – 1) 5 при любом натуральном n.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и запишите свойства операции сложения.

2. Используя определение сложения, найдите значение выражения:

а) 3 + 2; б) 3 + 3; в) 3 + 4;

3. Какие законы сложения изучаются в начальном курсе математики? Приведите примеры.

4. Объясните, какие теоретические положения используются при нахождении суммы 6 + 3:

6 + 3 = 6 +(2 + 1) = (6+ 2)+1 = 8+1 = 9.

5. Используя определение умножения, найдите значение выражения:

а) 3 × 2; б) 3 × 3; в) 3 × 4.

6. Сформулируйте и запишите свойства операции умножения.

7. Какие законы умножения изучают в начальном курсе математики? Приведите примеры их использования.

8. Дайте определение отношения «меньше» («больше») для натуральных чисел.

9. Какое из отношений:

а) отношение «меньше»;

б) отношение «больше»;

в) отношение «непосредственно следовать за»является отношением порядка?

10. Запишите законы монотонности сложения и умножения натуральных чисел. Какие свойства неравенств они выражают?

11. Сформулировать принцип математической индукции.