Метод минимальных невязок

Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений вида[14] Ax = f определить невозможно, поскольку точное решение x неизвестно. Однако можно оценить невязку

,

определяющую, насколько полученное решение не удовлетворяет исходному уравнению.

Рассмотрим явный итерационный метод:

.

Определим из этого соотношения величину :

.

При использовании итерационной схемы для (n+1) шага следует так подобрать итерационный параметр , чтобы при известном значение невязки стало наименьшим.

Оценим невязку для следующего шага:

.

Определим, как и ранее, квадрат нормы невязки:

.

При выводе последнего выражения учтено, что

,

- в силу симметрии матрицы.

Полученное соотношение между невязками на соседних шагах итерационной процедуры можно рассматривать как функциональную зависимость . Для нахождения значения итерационного параметра, при котором невязка минимальна, воспользуемся теоремой Ферма[15]:

,

.

Оценка невязки получаемого решения:

.

Здесь - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А; n - номер итерации.