Неявный метод с чебышёвским набором параметров

Рассмотрим неявную итерационную схему с положительно определенными матрицами А и В:

. (2.21)

Эта система уравнений для погрешностей принимает вид

.

Указанные свойства матрицы В позволяют представить ее в виде . Тогда предыдущее соотношение можно представить в форме

.

Обозначим . Тогда

,

где - симметричная положительно определенная матрица, причем минимальное (максимальное) собственное значение матрицы является одовременно и минимальным (максимальным) собственным значением для матрицы С.

Теорема 2.7. Пусть А и В - симметричные и положительно определенные матрицы. - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы . Для заданного числа N итераций неявный чебышёвский метод (2.21) имеет минимальную погрешность при наборе , определенном условиями предыдущей теоремы, где .

Удачным выбором матрицы В можно приблизить значение параметра x к 1, что приведет к понижению погрешности .